אוֶקטוֹרהיא כמות שקשורה אליה גם גודל וגם כיוון. זה שונה מאסקלרכמות, שמתאימה רק לגודל. מהירות היא דוגמה לכמות וקטורית. יש לו גם גודל (כמה מהר משהו הולך) וגם כיוון (הכיוון שהוא נוסע.)
וקטורים נמשכים לעתים קרובות כחצים. אורך החץ תואם את גודל הווקטור, ונקודת החץ מציינת את הכיוון.
ישנן שתי דרכים לעבוד עם חיבור וחיסור וקטור. הראשון הוא בצורה גרפית, על ידי מניפולציה בתרשימי החץ של הווקטורים עצמם. השנייה היא מתמטית, שנותנת תוצאות מדויקות.
הוספת וקטור גרפי וחיסור בממד אחד
בעת הוספת שני וקטורים, אתה מניח את זנב הווקטור השני לקצה הווקטור הראשון תוך שמירה על כיוון הווקטור. הוקטור כתוצאההוא וקטור שמתחיל בזנב הווקטור הראשון ומצביע בקו ישר לקצה הווקטור השני.
לדוגמה, שקול להוסיף וקטוריםאובשמצביעים לאותו כיוון לאורך קו. אנו מציבים אותם "קצה לזנב" ואת הווקטור המתקבל,ג, מצביע לאותו כיוון ויש לו אורך שהוא סכום האורכים שלאוב.
הפחתת וקטורים בממד אחד זהה למעשה להוספה, אלא שאתה "הופך" את הווקטור השני. זה נובע ישירות מהעובדה שחיסור זהה להוספת שלילי.
הוספת וקטור מתמטי וחיסור בממד אחד
כאשר עובדים בממד אחד, ניתן לציין את כיוון הווקטור באמצעות סימן. אנו בוחרים כיוון אחד להיות הכיוון החיובי (בדרך כלל "למעלה" או "ימין" נבחרים כחיוביים), ומקצים כל וקטור המצביע לכיוון זה ככמות חיובית. כל וקטור המצביע לכיוון השלילי הוא כמות שלילית. בעת הוספה או חיסור של וקטורים, הוסיפו או גרעו את גודלם בעזרת הסימנים המתאימים.
נניח בסעיף הקודם, וקטוראהיה בעל גודל 3 וקטורבהיה בעוצמה 5. ואז הווקטור שהתקבלC = A + B =8, וקטור בעוצמה 8 המצביע לכיוון החיובי, וקטור כתוצאה מכךד = A - B =-2, וקטור בעוצמה 2 המכוון לכיוון השלילי. שים לב שזה תואם את התוצאות הגרפיות שלפני כן.
טיפ: הקפידו להוסיף רק וקטורים מאותו הסוג: מהירות + מהירות, כוח + כוח וכן הלאה. כמו בכל מתמטיקה בפיזיקה, היחידות חייבות להתאים!
הוספת וקטור גרפי וחיסור בשני ממדים
אם הווקטור הראשון והווקטור השני אינם נמצאים באותו קו במרחב הקרטזיאני, תוכלו להשתמש באותה שיטת "קצה לזנב" כדי להוסיף אותם או לחסר אותם. כדי להוסיף שני וקטורים, פשוט דמיין להרים את השני ולהניח את זנבו לקצה הראשון תוך שמירה על כיוונו כמוצג. הווקטור המתקבל הוא חץ המתחיל בזנב הווקטור הראשון ומסתיים בקצה הווקטור השני:
בדיוק כמו בממד אחד, הפחתה של וקטור אחד מהמשנה שווה ערך לרפרוף ולהוספה. מבחינה גרפית, זה נראה כך:
•••דנה חן | מדע
הערה: לפעמים תוספת וקטורית מוצגת בצורה גרפית על ידי חיבור הזנבות של שני הווקטורים התוספים ויצירת מקבילית. הווקטור המתקבל הוא אז האלכסון של מקבילית זו.
הוספת וקטור מתמטי וחיסור בשני ממדים
כדי להוסיף ולחסר וקטורים בשני ממדים באופן מתמטי, בצע את הצעדים הבאים:
לפרק כל וקטור ל-איקס-רכיב, המכונה לפעמים הרכיב האופקי, ו- ay-רכיב, המכונה לפעמים הרכיב האנכי, תוך שימוש בטריגונומטריה. (שימו לב שרכיבים עשויים להיות שליליים או חיוביים, תלוי לאיזה כיוון מכוון הווקטור)
תוסיף את האיקס-רכיבי שני הווקטורים יחד, ואז הוסף אתy-רכיבים של שני הווקטורים יחד. תוצאה זו נותנת לך אתאיקסוyרכיבי הווקטור שהתקבל.
ניתן למצוא את גודל הווקטור שהתקבל באמצעות משפט פיתגורס.
ניתן למצוא את כיוון הווקטור שהתקבל באמצעות טריגונומטריה באמצעות פונקציית המשיק ההפוך. כיוון זה ניתן בדרך כלל כזווית ביחס לחיוביאיקס-צִיר.
טריגונומטריה בתוספת וקטורית
זכור את היחסים בין הצדדים והזוויות של משולש ימני מהטריגונומטריה.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ טקסט {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ טקסט {} \\ \ tan (\ תטא) = \ frac {b} {a}
משפט פיתגורס:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
תנועת קליע מספקת דוגמאות קלאסיות לאופן שבו אנו יכולים להשתמש בקשרים אלה כדי לפרק וקטור ולקבוע את הגודל והכיוון הסופי של הווקטור.
שקול שני אנשים שמשחקים לתפוס. נניח שאומרים לך שהכדור נזרק מגובה 1.3 מ 'במהירות 16 מ / ש בזווית של 50 מעלות עם האופק. כדי להתחיל בניתוח בעיה זו, יהיה עליך לפרק את וקטור המהירות הראשוני הזה לאיקסוyרכיבים כפי שמוצג:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 פעמים \ cos (50) = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ times \ sin (50) = 12.3 \ text {m / s}
אם התופס מחמיץ את הכדור והוא פוגע בקרקע, באיזו מהירות סופית הוא יכה?
באמצעות משוואות קינמטיות, אנו מסוגלים לקבוע כי המרכיבים הסופיים של מהירות הכדור הם:
v_ {xf} = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13.3 \ text {m / s}
משפט פיתגורס מאפשר לנו למצוא את העוצמה:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
וטריגונומטריה מאפשרת לנו לקבוע את הזווית:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52.2 \ מעלות
דוגמה לחיבור ולחיסור וקטור
שקול מכונית שעוברת פינה. לְהַנִיחַvאניכי המכונית נמצאת באיקס-כיוון בעוצמה 10 מ / ש, וvfנמצא בזווית של 45 מעלות עם החיוביאיקס-ציר בעוצמה 10 מ / ש. אם שינוי תנועה זה מתרחש תוך 3 שניות, מה גודל וכיוון התאוצה של המכונית כשהיא מסתובבת?
זוכר את התאוצה ההיאאהיא כמות וקטורית המוגדרת כ:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
איפהvfוvאניהם מהירויות סופיות וראשוניות בהתאמה (ומכאן, הם גם כמויות וקטוריות).
על מנת לחשב את ההפרש הווקטוריvf - vאני,ראשית עלינו לפרק את וקטורי המהירות הראשונית והסופית:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7.07 \ text {m / s}
ואז נגרע את הגמראיקסוyרכיבים מהראשוןאיקסוyרכיבים לקבל רכיבים שלvf - vאני:
ואז נגרע אתאיקסוyרכיבים:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7.07 \ text {m / s}
ואז מחלקים כל פעם לפי זמן כדי לקבל את המרכיבים של וקטור ההאצה:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
השתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא את גודל וקטור התאוצה:
a = \ sqrt {(- 0.977) ^ 2 + (2.36) ^ 2} = 2.55 \ טקסט {m / s} ^ 2
לבסוף, השתמשו בטריגונומטריה כדי למצוא את כיוון וקטור ההאצה:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Big) = 113 \ מעלות