מומנטום זוויתי: הגדרה, משוואה, יחידות (עם דיאגרמות ודוגמאות)

שקול את הסצינה: אתה וחבר, בגלל נושאים שאינם בשליטתך, עומדים בראש רמפה ארוכה ומשופעת כלפי מטה. כל אחד מכם קיבל כדור ברדיוס 1 מ 'בדיוק. נאמר לך כי שלך עשוי מחומר אחיד דמוי קצף ומשקלו 5 ק"ג. לכדור של חברך יש גם מסה של 5 ק"ג, אותו אתה מאמת בקנה מידה שימושי.

חברך רוצה להמר בך שאם תשחרר את שני הכדורים בו זמנית, שלך יגיע לתחתית תחילה. אתה מתפתה לטעון שמכיוון שהכדורים הם בעלי מסה זהה ואותו רדיוס (ומכאן נפח), הם יואצו בכוח המשיכה במורד הרמפה לאותה מהירות לאורך הירידה. אבל משהו עוצר את ההימור שלך "מומנטום", ואתה לא לוקח את ההימור ...

... בחוכמה, כפי שמתברר. למרות שזה לא הגיוני בהתחלה, הכדור של החבר שלך, לכל היותר נראה תאום משלך, נע במורד הרמפה לאט יותר משלך. לאחר סיום הניסוי, אתה דורש לפרק את הכדורים ולבדוק אם יש סימנים לתחבולה. במקום זאת, כל מה שאתה מוצא הוא כי 5 ק"ג המסה בכדור של חברך הוגבלה למעטפת דקה בחלקו החיצוני, עם הפנים חלול.

מה לגבי התצורה שתוארה לעיל מטה את הערך של v לטובת הכדור שלך? כמו שקורה, בדיוק כמוכוחותלשנות את המומנטום לינארישל חפצים עםמהירות ליניארית​, ​מומנטיםלשנות את המומנטום זוויתישל חפצים עםמהירות זוויתית​.

לאובייקט מתגלגל נוקשה יש גם מומנטום לינארי וגם מומנטום זוויתי, מכיוון שמרכז המסה שלו נע במהירות קבועה v (שווה למהירות המשיקה של הכדור או הגלגל), כל חלק אחר של האובייקט מסתובב באותו מרכז מסה במהירות זוויתית ω.

לאופן הפצת המסה בתוך אובייקט אין כל השפעה על המומנטום הליניארי שלו, אלא הוא קובע בצורה נאה את המומנטום הזוויתי שלו. היא עושה זאת באמצעות כמות "דמוית מסה" (למטרות סיבוב) הנקראת רגע האינרציה, ערכים גבוהים יותר של שמשמעותם הן יותר קושי להשיג משהו מסתובב והן קושי לעצור אותו ברגע שהוא כבר מסתובב.

תנע זוויתי הוא מדד עד כמה קשה לשנות את תנועת הסיבוב של האובייקט. זה תלוי ברגע האינרציה של האובייקט ובמהירות הזוויתית שלו. המומנטום הזוויתי הוא כמות משומרת, כלומר סכום המומנטה הזוויתית של החלקיקים במערכת סגורה תמיד זהה, אפילו זה של חלקיקים בודדים יכול להשתנות.

תנע זוויתי הוא, כאמור, גם פונקציה של התפלגות המסה סביב ציר. כדי לקבל תחושה אינטואיטיבית של זה, דמיין לעמוד מטר אחד ממרכז סיבוב ענק שעושה מהפכה אחת בכל 10 שניות. עכשיו דמיין לעצמך להיות על אותה צורה עם אותה מהירות זוויתית בעמידה 1מִילמהמרכז. לא צריך הרבה דמיון כדי להבין את ההבדל בתנע הזוויתי בשני התרחישים הללו.

​המומנטום הזוויתי הוא תוצר של רגע האינרציה כפול מהירותו הזוויתית, או:
​

איפהל= תנע זוויתי בק"ג ∙ מ '²/s,אני= רגע האינרציה בק"ג ∙ מ '², ו- ω = מהירות זוויתית ברדיאנים לשנייה (rad / s).

• ​אנינקרא גם הרגע השני של האזור.

שים לב שהדיון התרחב ממסה נקודתית לגוף מוצק, כגון גליל או כדור, המסתובב סביב ציר. מרכז המסה של אובייקט נמצא לרוב לאגֵאוֹמֶטרִימרכז, כך ערכים שלאניתלוי באופן שבו מסת העצם מתפזרת. לעתים קרובות זה סימטרי אך לא אחיד, כמו דיסק חלול עם כל המסה שלו בפס דק מבחוץ (במילים אחרות, טבעת).

וקטור המומנטום הזוויתי מצביע לאורך ציר הסיבוב בניצב למישור שנוצר על ידיר, ה"טאטא "העגול של כל נקודה באובייקט דרך החלל.

תרשים הפניה לערךאניעבור צורות נפוצות שונות נמצא במשאבים. השתמש באלו כדי להתחיל בכמה בעיות מומנטום זוויתיות בסיסיות.

• ציין זאתאניעבור קליפה כדורית היא (2/3) מר² ואילו זה של כדור הוא (2/5) מר². אם נחזור להימור בהקדמה, עכשיו אתה יכול לראות שלכדור של חבר שלך יש (2/3) / (2/5) = פי 1.67 את רגע האינרציה כשלך, מה שמסביר את הזכייה שלך ב"מירוץ ".

1. דיסק עם אינרציה סיבוביתאנישל 1.5 ק"ג ∙ מ '²/ s מסתובב סביב ציר במהירות זוויתיתωשל 8 ראד / ים. מה המומנטום הזוויתי שלהל​?

2. מוט דק באורך 15 מ 'עם מסה של 5 ק"ג - ידו של שעון מסיבי, נניח - מסתובב סביב נקודה קבועה בקצה אחד במהירות זוויתיתωשל 2π rad / 60 s = (π / 30) rad / s. מה המומנטום הזוויתי שלול​?

הפעם, אתה צריך לחפש את הערך שלאני. למוט דק שנע באופן זה,אני= (1/3) מ 'ר²​.

השווה זאת לתשובה בדוגמה הראשונה. זה מפתיע אותך? למה או למה לא?

"שימור" פירושו משהו קצת שונה בפיזיקה מאשר בתחום מערכות אקולוגיות. זה פשוט אומר שהכמות הכוללת של הכמויות המשומרות (אנרגיה, מומנטום, מסה ואינרציה הן הכמויות ה"ארבע הגדולות "שנשמרו בפיזיקה) במערכת, כולל היקום, נשארות תמיד אותו. אם אתה מנסה "לחסל" אנרגיה, היא פשוט מופיעה בצורה אחרת, וכל ניסיון "ליצור" אותה מסתמך על מקור שהיה קיים מראש.

חוק שימור המומנטום הזוויתי קובע כי במערכת סגורה המומנטום הזוויתי הכולל אינו יכול להשתנות. מכיוון שתנע זוויתי תלוי במהירות הזוויתית וברגע האינרציה, ניתן לחזות כיצד כל אחד מהכמויות הללו חייב להשתנות ביחס זה לזה במצב נתון.

• באופן רשמי, שכן מומנט יכול לבוא לידי ביטוי כ-τ= דל/ dt (קצב השינוי אם מומנטום זוויתי עם הזמן), כאשר סכום המומנט במערכת הוא אפס, אז dל/ dt חייב להיות אפס גם כן ואין שינוי במומנטום הזוויתי במערכת לאורך זמן בו המערכת מוערכת. לעומת זאת, אם L אינו קבוע, הדבר מרמז על חוסר איזון של מומנטים במערכת (כלומר,τ_נֶטוֹהואלֹאשווה לאפס).

זהו מושג חשוב בהרבה דוגמאות מכניקה מחיי היומיום. דוגמא קלאסית היא החלקה על הקרח: כשהיא קופצת באוויר לעשות סרן משולש, היא מושכת את איבריה בחוזקה. זה מקטין את הרדיוס הכללי שלה סביב ציר הסיבוב שלה, ומשנה את התפלגות המסה שלה כך שרגע האינרציה שלה פוחת (זכור,אניהוא פרופורציונלי ל- mר²​).

אולם מכיוון שמומנטום זוויתי נשמראניפוחתת, מהירות הזווית שלה חייבת לעלות; כך היא מסתובבת מהר מספיק כדי להשלים כמה סיבובים באוויר! כשהיא נוחתת, היא עושה את ההפך - היא פורשת את איבריה, משנה את התפלגותה המונית כדי להגדיל את רגע האינרציה שלה, מאיטה את קצב הסיבוב שלה (מהירות זוויתית) בתורו.

לאורך כל הדרך, המומנטום הזוויתי של המערכת הוא קבוע, אך ניתן לתפעל את המשתנים הקובעים את גודל המומנטום הזוויתי ולהשפיע עליהם, כמו במקרה זה.

החל משנות ה 1600-, יצחק ניוטון החל לחולל מהפכה בפיזיקה המתמטית ביעילות. לאחר שהמציא את החשבון, הוא היה במצב טוב להצהיר טענות רשמיות בנוגע לחוקים האוניברסאליים המסדירים את תנועת האובייקטים, הן טרנסלציוניים (ליניאריים והן דרך החלל) וגם סיבוביים (מחזוריים בערך ציר).

• השוניםחוקי שימורשמקבלים אזכור רב בהמשך אינם ילדי המוח של ניוטון, אך קיימים קשרים משמעותיים בין אלה לחוקי התנועה.

​החוק הראשון של ניוטוןקובע כי אובייקט במנוחה או נע במהירות קבועה יישאר במצב זה אלא אם כן כוח חיצוני פועל על האובייקט. זה נקרא גםחוק האינרציה.​

​החוק השני של ניוטוןטוען שכוח נטוF_נֶטוֹפועל על חלקיק עם מסהM, הוא נוטה לשנות את המהירות של המסה ההיא, או להאיץ אותה. מערכת יחסים מפורסמת זו באה לידי ביטוי מתמטית כ-F_נֶטוֹ= מ 'א​.

​החוק השלישי של ניוטוןאומר שלכל כוח שקיים בטבע קיים כוח שווה בעוצמתו אך מצביע בדיוק בכיוון ההפוך. לחוק זה השלכות חשובות על תכונות תנועה משומרות, כולל תנע זוויתי.

עכשיו זה זמן מצוין לסקור את האופי, הכללים והיחסים ביןכּוֹחַ​, ​תְנוּפָה(מסה כפול מהירות) ואֵנֶרְגִיָה, שמיידעים לא רק דיונים על תנע זוויתי אלא כל השאר בפיזיקה הקלאסית.

כאמור, אלא אם כן אובייקט חווה כוח חיצוני (או במקרה של אובייקט מסתובב, מומנט חיצוני), תנועתו נמשכת ללא השפעה. אולם בכדור הארץ הכבידה היא כמעט תמיד בתערובת, כמו גם גרור האוויר התורם פחות וסוגים שונים של חיכוכים כוחות, כך ששום דבר פשוט לא ממשיך לנוע אלא אם כן מקבלים מדי פעם אנרגיה להחליף את מה ש"נלקח "על ידי התנועה הכרונית הזו גנבים."

כדי לפשט, לחלקיק ישאנרגיה כוללתהמורכב מאנרגיה פנימית(למשל, הרטט של המולקולות שלה) ו-אנרגיה מכנית. אנרגיה מכנית היא להפוך את הסכום שלאנרגיה פוטנציאלית(פ; אנרגיה "מאוחסנת", בדרך כלל באמצעות כוח המשיכה) ו-אנרגיה קינטית(KE; אנרגיית תנועה). מועיל, PE + KE + IE = קבוע לכל המערכות, בין אם מדובר במסת נקודה (חלקיק יחיד) או במגוון של מסות שורקות ומתקשרות.

כשאתה שומע מונחים הקשורים לתנועה, כגון מהירות, תאוצה, תזוזה ומומנטום, אתה כנראה מניח כברירת מחדל שההקשר הוא תנועה לינארית. למעשה, לתנועה סיבובית יש כמויות ייחודיות אך אנלוגיות משלה.

בעוד שעקירה לינארית נמדדת במטרים (מ ') ביחידות SI, תזוזה זוויתית נמדדת ברדיאנים (2π רד = 360 מעלות). בהתאם לכך,מהירות זוויתיתנמדד ב- rad / s ומיוצג על ידיω, האות היוונית אומגה.

עם זאת, כאשר מסת נקודה נעה סביב ציר הסיבוב שלה, בנוסף למהירות הזוויתית, החלקיק מתחקה אחר מסלול מעגלי בקצב נתון, בדומה לתנועה לינארית. שיעור זה הואמהירות משיקה​ ​v_t​​,והוא שווה ל- rω,איפהרהוא הרדיוס, או המרחק מציר הסיבוב.

באופן קשור,תאוצה זוויתית​ ​α(אלפא יווני) הוא קצב השינוי במהירות הזוויתיתωונמדד ב rad / s². יש גםתאוצה צנטריפוגלית​ ​א_גניתנו על ידיv_t²/r,שמופנה פנימה לכיוון ציר הסיבוב.

• תוך כדי דיון במומנטום הזוויתי, מקבילו של מvבמונחים ליניאריים, יינתן דיון מעמיק בקרוב, דע שאחד ממרכיביו,אני, יכול להיחשב כאל אנלוג סיבובי למסה.

המומנטום הזוויתי, כמו כוח, תזוזה, מהירות ותאוצה, הוא aכמות וקטורית, כי משתנים כאלה כוללים את שניהם aעוצמה(כלומר, מספר) ו- aכיוון, לעתים קרובות ניתנים למונחים של רכיבי ה- x-, y- ו- z האישיים. כמויות המכילות רק אלמנט מספרי, כגון מסה, זמן, אנרגיה ועבודה, ידועות בשםכמויות סקלריות​.