Hai mai visto uno di quegli uccelli giocattolo che è in grado di stare in equilibrio sulla punta delle dita grazie al becco senza ribaltarsi, come per magia? Non è la magia che permette all'uccello di bilanciarsi, ma la semplice fisica associata al centro di massa.
Comprendere la fisica dietro il centro di massa ti consente non solo di comprendere la conservazione della quantità di moto e altre cose correlate fisica, ma può anche informare la stabilità e la dinamica negli sport che pratichi, oltre a consentirti di eseguire alcuni equilibri creativi atti.
Definizione di centro di massa
Un oggetto objectcentro di Massa, talvolta chiamato anche centro di gravità, può essere pensato come il punto in cui la massa totale di un oggetto o di un sistema può essere trattata come una massa puntiforme. In determinate situazioni, le forze esterne possono essere trattate come se agissero sul centro di massa dell'oggetto.
Per l'uccello giocattolo in equilibrio sulla punta del dito, il centro di massa è sul becco. Questo potrebbe sembrare sbagliato all'inizio, motivo per cui l'atto di bilanciare sembra magico. In effetti, per un uccello seduto su un ramo, il suo centro di massa è da qualche parte nel suo corpo. Ma il giocattolo dell'uccello in equilibrio ha spesso ali ponderate che si estendono verso l'esterno e in avanti, facendolo bilanciare in modo diverso.
Il centro di massa può essere determinato per un singolo oggetto – come l'uccello in equilibrio – oppure può essere calcolato per un sistema di più oggetti, come vedrai in una sezione successiva.
Centro di massa per un singolo oggetto
Ci sarà sempre un singolo punto su un corpo rigido che è la posizione del centro di massa di quel corpo. La posizione del centro di massa di un oggetto dipende dalla distribuzione della massa.
Se un oggetto è di densità uniforme, il suo centro di massa è più facile da determinare. Ad esempio, in un cerchio di densità uniforme, il centro di massa è il centro del cerchio. (Questo non sarebbe il caso, tuttavia, se il cerchio fosse più denso da un lato che dall'altro).
Infatti, il centro di massa sarà sempre al centro geometrico dell'oggetto quando la densità è uniforme. (Questo centro geometrico è chiamatobaricentro.)
Se la densità non è uniforme, ci sono altri modi per determinare il centro di massa. Alcuni di questi metodi implicano l'uso del calcolo, che esula dallo scopo di questo articolo. Ma un modo semplice per determinare il centro di massa di un oggetto rigido è semplicemente cercare di bilanciarlo sulla punta del dito. Il baricentro sarà nel punto di equilibrio.
Un altro metodo, utile per oggetti planari, è il seguente:
- Sospendi la forma da un punto del bordo insieme a un filo a piombo.
- Disegna una linea sulla forma che si allinea con il filo a piombo.
- Sospendi la forma da un punto del bordo diverso insieme a un filo a piombo.
- Disegna una linea sulla forma che si allinea con il nuovo filo a piombo.
- Le due linee tracciate dovrebbero intersecarsi in un unico punto.
- Questo punto di intersezione unico è la posizione del centro di massa.
Per alcuni oggetti, tuttavia, è possibile che il punto di equilibrio sia al di fuori dei limiti dell'oggetto stesso. Pensa ad un anello, per esempio. Il centro di massa per una forma ad anello è al centro, dove non esiste alcuna parte dell'anello.
Centro di massa di un sistema di particelle
La posizione del centro di massa per un sistema di particelle può essere pensata come la loro posizione di massa media.
La stessa idea può essere utilizzata come per un oggetto rigido se immagini che questo sistema di particelle siano tutte collegate da un piano rigido e privo di massa. Il centro di massa sarebbe quindi il punto di equilibrio di quel sistema.
Per determinare matematicamente il centro di massa di un sistema di particelle, si può usare la seguente semplice formula:
\vec{r} = \frac{1}{M}(m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...
DoveMè la massa totale del sistema,miosono le masse individuali eriosono i loro vettori di posizione.
In una dimensione (per masse distribuite lungo una linea retta) puoi sostituirerconX.
In due dimensioni, puoi trovare ilX-coordinare esì-coordinata del centro di massa separatamente come:
x_{cm} = \frac{1}{M}(m_1x_1 + m_2x_2 +... \\ \text{ }\\ y_{cm} = \frac{1}{M}(m_1y_1 + m_2y_2 + ...
Esempi di calcolo del centro di massa
Esempio 1:Trova le coordinate del centro di massa del seguente sistema di particelle: particella di massa 0,1 kg situato in (1, 2), particella di massa 0,05 kg situata in (2, 4) e particella di massa 0,075 kg situata in (2, 1).
Soluzione 1:Applica la formula per ilX-coordinata del centro di massa come segue:
x_{cm} = \frac{1}{M}(m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3) \\\text{ }\\= \frac{1}{0.1 + 0.05 + 0.075}(0.1(1) + 0.05(2 ) + 0,075(2))\\\testo{ }\\=0,079
Quindi applica la formula persì-coordinata del centro di massa come segue:
y_{cm} = \frac{1}{M}(m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3) \\\text{ }\\= \frac{1}{0.1 + 0.05 + 0.075}(0.1(2) + 0.05(4 ) + 0,075(1))\\\testo{ }\\=2,11
Quindi la posizione del centro di massa è (0.079, 2.11).
Esempio 2:Trova la posizione del centro di massa di un triangolo equilatero a densità uniforme i cui vertici si trovano nei punti (0, 0), (1, 0) e (1/2, √3/2).
Soluzione 2:Devi trovare il centro geometrico di questo triangolo equilatero con lato lungo 1. IlX-la coordinata del centro geometrico è semplice: è semplicemente 1/2.
Ilsì-coordinate è un po' più complicato. Si verificherà nella posizione in cui una linea dalla parte superiore del triangolo al punto (0, 1/2) si interseca con una linea da uno qualsiasi degli altri vertici al punto medio di uno dei lati opposti. Se disegni una disposizione del genere, ti ritroverai con un triangolo rettangolo 30-60-90 la cui gamba lunga è 0,5 e la gamba corta è ilsì-coordinata. La relazione tra questi lati è √3y = 1/2, quindi y = √3/6, e le coordinate del centro di massa sono (1/2, √3/6).
Moto del Centro di Massa
La posizione del centro di massa di un oggetto o di un sistema di oggetti può essere utilizzata come punto di riferimento in molti calcoli fisici.
Quando si lavora con un sistema di particelle interagenti, ad esempio, trovare il centro di massa del sistema consente di comprendere la quantità di moto lineare. Quando si conserva la quantità di moto lineare, il centro di massa del sistema si muoverà con velocità costante anche se gli oggetti stessi rimbalzano l'uno sull'altro.
Per un oggetto rigido che cade, la gravità può essere considerata come un'azione sul centro di massa di quell'oggetto, anche se quell'oggetto sta ruotando.
Lo stesso vale per i proiettili. Immagina di lanciare un martello e mentre vola attraverso un arco in aria, ruota da un capo all'altro. Questo potrebbe sembrare un movimento complesso da modellare all'inizio, ma si scopre che il centro di massa del martello si muove in un bel percorso parabolico regolare.
È possibile eseguire un semplice esperimento che lo dimostri fissando un piccolo pezzo di nastro adesivo al centro di massa del martello e quindi lanciando il martello come descritto in una stanza buia. Il nastro luminoso sembrerà muoversi in un arco regolare, come una palla lanciata.
Un semplice esperimento: trova il centro di massa di una scopa
Un divertente esperimento del centro di massa che puoi eseguire a casa prevede l'utilizzo di una tecnica semplice per trovare il centro di massa di una scopa. Tutto ciò di cui hai bisogno per questo esperimento è una scopa e due mani.
Con le mani relativamente distanti, solleva la scopa all'estremità di due dita indice. Quindi, avvicina lentamente le mani, facendole scivolare sotto la scopa. Avvicinando le mani, potresti notare che una mano vuole scivolare lungo la parte inferiore del manico della scopa mentre l'altra rimane ferma per un po' prima di scivolare.
Per tutto il tempo in cui le tue mani si muovono, la scopa rimane in equilibrio. Alla fine, quando le tue due mani si incontrano, si incontreranno nella posizione del centro di massa della scopa.
Centro di massa del corpo umano
Il centro di massa del corpo umano si trova da qualche parte vicino all'ombelico (ombelico). Negli uomini, il centro di massa tende ad essere un po' più alto poiché portano più massa corporea nella parte superiore del corpo e nelle donne, il centro di massa è più basso perché trasportano più massa nei fianchi.
Se stai su un piede, il tuo centro di massa si sposterà verso il lato del piede su cui ti trovi. Potresti notare che ti inclini di più verso quel lato. Questo perché per rimanere in equilibrio, il tuo centro di massa deve rimanere sopra il piede su cui stai bilanciando, altrimenti ti ribalterai.
Se stai in piedi con una gamba e l'anca contro un muro e provi a sollevare l'altra gamba, probabilmente lo troverai impossibile perché il muro impedisce al tuo peso di spostarsi sulla gamba di equilibrio.
Un'altra cosa da provare è stare in piedi con le spalle al muro e i talloni che toccano il muro. Quindi prova a piegarti in avanti e a toccare il pavimento senza piegare le gambe. Le donne possono avere più successo in questo compito rispetto agli uomini perché il loro centro di massa è più basso nel loro corpo e possono finire per essere ancora sopra le dita dei piedi mentre si piegano in avanti.
Centro di massa e stabilità
La posizione del centro di massa rispetto alla base di un oggetto determina la sua stabilità. Qualcosa è considerato stabilmente in equilibrio se, quando viene leggermente inclinato e poi rilasciato, ritorna nella sua posizione originale invece di inclinarsi ulteriormente e cadere.
Considera una forma piramidale tridimensionale. Se in equilibrio sulla sua base è stabile. Se sollevi leggermente un'estremità e la lasci andare, cade di nuovo. Ma se provi a bilanciare la piramide sulla sua punta, qualsiasi deviazione dall'equilibrio perfetto la farà cadere.
Puoi determinare se un oggetto ricadrà nella sua posizione originale o si ribalterà osservando la posizione del centro di massa rispetto alla base. Una volta che il centro di massa si sposta oltre la base, l'oggetto si ribalta.
Se pratichi sport, potresti avere familiarità con la posizione pronta in cui ti trovi con una posizione ampia e le ginocchia piegate. Ciò mantiene il tuo centro di massa basso e l'ampia base ti rende più stabile. Considera quanto duramente dovrebbe spingerti qualcuno a farti ribaltare se sei nella posizione di pronto vs. quando sei in piedi con i piedi uniti.
Alcune auto hanno problemi con il ribaltamento quando fanno curve strette. Ciò è dovuto alla posizione del loro centro di massa. Se il baricentro di un veicolo è troppo alto e la base non è abbastanza larga, non ci vuole molto per farlo ribaltare. È sempre meglio per la stabilità di un veicolo avere la maggior parte del peso il più basso possibile.