Movimento del proiettilesi riferisce al movimento di una particella che viene impartito con una velocità iniziale ma successivamente non è soggetto a forze oltre a quella di gravità.
Ciò include problemi in cui una particella viene scagliata con un angolo compreso tra 0 e 90 gradi rispetto all'orizzontale, con l'orizzontale che di solito è il suolo. Per comodità, si assume che questi proiettili viaggino nel (x, y) aereo, conXche rappresenta lo spostamento orizzontale esìspostamento verticale.
Il percorso seguito da un proiettile è indicato come suotraiettoria. (Si noti che il collegamento comune in "proiettile" e "traiettoria" è la sillaba "-getto", la parola latina per "lanciare". Espellere qualcuno significa letteralmente buttarlo fuori.) Il punto di origine del proiettile nei problemi in cui è necessario calcolare la traiettoria viene solitamente assunto (0, 0) per semplicità se non diversamente ha dichiarato.
La traiettoria di un proiettile è una parabola (o almeno traccia una porzione di parabola) se la particella è lanciata in modo tale che abbia una componente di movimento orizzontale diversa da zero e non vi sia resistenza dell'aria che influisca sul particella.
Le equazioni cinematiche
Le variabili di interesse nel moto di una particella sono le sue coordinate di posizioneXesì, la sua velocitàv, e la sua accelerazioneun, il tutto in relazione ad un dato tempo trascorsotdall'inizio del problema (quando la particella viene lanciata o rilasciata). Si noti che l'omissione della massa (m) implica che la gravità sulla Terra agisce indipendentemente da questa quantità.
Nota anche che queste equazioni ignorano il ruolo della resistenza dell'aria, che crea una forza di resistenza al movimento opposto nelle situazioni reali della Terra. Questo fattore viene introdotto nei corsi di meccanica di livello superiore.
Le variabili a cui viene assegnato un pedice "0" si riferiscono al valore di quella quantità al momentot= 0 e sono costanti; spesso, questo valore è 0 grazie al sistema di coordinate scelto e l'equazione diventa molto più semplice. L'accelerazione è trattata come costante in questi problemi (ed è nella direzione y ed è uguale a -g,o–9,8 m/s2, l'accelerazione di gravità in prossimità della superficie terrestre).
Movimento orizzontale:
x=x_0+v_xt
- Il termine
vXè la velocità x costante.
Movimento verticale:
y=y_0+((v_{0y}+v_y)/2) t\\ v_y=v_{0y}-gt\\ y=y_0+v_{0y}t-(1/2)gt^2\\ v_y^ 2=v_{0y}^2-2g (y-y_0)
Esempi di movimento del proiettile
La chiave per essere in grado di risolvere problemi che includono calcoli di traiettoria è sapere che le componenti orizzontale (x) e verticale (y) di il movimento può essere analizzato separatamente, come mostrato sopra, e i loro rispettivi contributi al movimento complessivo sono stati sommati ordinatamente alla fine del of problema.
I problemi di movimento dei proiettili contano come problemi di caduta libera perché, non importa come appaiono le cose nel tempot= 0, l'unica forza che agisce sull'oggetto in movimento è la gravità.
- Tieni presente che poiché la gravità agisce verso il basso, e questa è considerata la direzione y negativa, il valore dell'accelerazione è -g in queste equazioni e problemi.
Calcoli della traiettoria
1. I lanciatori più veloci del baseball possono lanciare una palla a poco più di 100 miglia all'ora, o 45 m/s. Se una palla viene lanciata verticalmente verso l'alto a questa velocità, quanto sarà alta e quanto tempo impiegherà per tornare al punto in cui è stata rilasciata?
Quivy0= 45 m/s, -g= –9,8 m/s, e le grandezze di interesse sono l'altezza ultima, osi,e il tempo totale di ritorno sulla Terra. Il tempo totale è un calcolo in due parti: tempo fino a y e tempo fino a y0 = 0. Per la prima parte del problema,vsì,quando la palla raggiunge la sua altezza massima, è 0.
Inizia usando l'equazionevsì2= v0 anni2 – 2g (y – y0)e inserendo i valori che hai:
0 = (45)^2 – (2)(9,8)(y – 0) = 2.025 – 19,6y\implica y=103,3\testo{ m}
L'equazionevsì = v0 anni – gtmostra che il tempo t necessario è (45/9,8) = 4,6 secondi. Per ottenere il tempo totale, aggiungi questo valore al tempo impiegato dalla palla per cadere liberamente al punto di partenza. Questo è dato day = y0 + v0 annit – (1/2)gt2, dove ora, poiché la palla è ferma nell'istante prima che cominci a precipitare,v0 anni = 0.
Risolvendo:
103,3=(1/2)gt^2\implica t=4,59\testo{ s}
Quindi il tempo totale è 4,59 + 4,59 = 9,18 secondi. Il risultato forse sorprendente che ogni "gamba" del viaggio, su e giù, ha impiegato lo stesso tempo sottolinea il fatto che la gravità è l'unica forza in gioco qui.
2. L'equazione della gamma:Quando un proiettile viene lanciato ad una velocitàv0e un angolo dall'orizzontale, ha componenti orizzontali e verticali iniziali della velocitàv0x = v0(cos ) ev0 anni = v0(peccato ).
Perchévsì = v0 anni – gt, evsì = 0 quando il proiettile raggiunge la sua altezza massima, il tempo di altezza massima è dato da t =v0 anni/g. A causa della simmetria, il tempo necessario per tornare a terra (oppure y = y0) è semplicemente 2t = 2v0 anni/g.
Infine, combinandoli con la relazione x =v0xt, la distanza orizzontale percorsa dato un angolo di lancio è
R=2\frac{v_0^2\sin{\theta}\cos{\theta}}{g}=\frac{v_0^2\sin{2\theta}}{g}
(Il passo finale deriva dall'identità trigonometrica 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Poiché sin2θ è al suo valore massimo di 1 quando = 45 gradi, l'uso di questo angolo massimizza la distanza orizzontale per una data velocità a
R=\frac{v_0^2}{g}