A volte la "crescita esponenziale" è solo un modo di dire, un riferimento a tutto ciò che cresce irragionevolmente o incredibilmente rapidamente. Ma in alcuni casi, puoi prendere alla lettera l'idea di crescita esponenziale. Ad esempio, una popolazione di conigli può crescere in modo esponenziale man mano che ogni generazione prolifera, quindi la loro prole prolifera e così via. Anche il reddito aziendale o personale può crescere in modo esponenziale. Quando sei chiamato a fare calcoli reali sulla crescita esponenziale, lavorerai con tre informazioni: valore iniziale, tasso di crescita (o decadimento) e tempo.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Per calcolare la crescita esponenziale, usa la formula sì(t) = a__ekt, dove un è il valore all'inizio, K è il tasso di crescita o decadimento, t è tempo e sì(t) è il valore della popolazione al tempo t.
Immagina che uno scienziato stia studiando la crescita di una nuova specie di batteri. Mentre poteva inserire i valori della quantità iniziale, del tasso di crescita e del tempo in un calcolatore di crescita della popolazione, ha deciso di calcolare manualmente il tasso di crescita della popolazione di batteri.
Guardando indietro ai suoi meticolosi registri, lo scienziato vede che la sua popolazione iniziale era di 50 batteri. Cinque ore dopo, ha misurato 550 batteri.
Inserendo le informazioni dello scienziato nell'equazione per la crescita o il decadimento esponenziale, sì(t) = a__ekt, lui ha:
550 = 50_eK_5
L'unica incognita rimasta nell'equazione è K, o il tasso di crescita esponenziale.
Per iniziare a risolvere per K, prima dividi entrambi i membri dell'equazione per 50. Questo ti dà:
550/50 = (50_eK_5)/50, che si semplifica in:
11 = e_k_5
Quindi, prendi il logaritmo naturale di entrambi i membri, che è annotato come ln(X). Questo ti dà:
ln (11) = ln(e_k_5)
Il logaritmo naturale è la funzione inversa di eX, quindi effettivamente "annulla" il eX funzione sul lato destro dell'equazione, lasciandoti con:
ln (11) = _k_5
Quindi, dividi entrambi i lati per 5 per isolare la variabile, che ti dà:
K = ln (11)/5
Ora conosci il tasso di crescita esponenziale di questa popolazione di batteri: K = ln (11)/5. Se hai intenzione di fare ulteriori calcoli con questa popolazione, ad esempio, inserendo il tasso di crescita nell'equazione e stimando la dimensione della popolazione a t = 10 ore – è meglio lasciare la risposta in questo modulo. Ma se non stai eseguendo ulteriori calcoli, puoi inserire quel valore in un calcolatore di funzioni esponenziali - o nella tua calcolatrice scientifica - per ottenere un valore stimato di 0,479579. A seconda dei parametri esatti del tuo esperimento, potresti arrotondarlo a 0,48/ora per facilitare il calcolo o la notazione.
Suggerimenti
Se il tuo tasso di crescita dovesse essere inferiore a 1, ti dice che la popolazione si sta riducendo. Questo è noto come tasso di decadimento o tasso di decadimento esponenziale.