Come risolvere un'equazione di radice quadrata

La radice quadrata di un numero è un valore che, moltiplicato per se stesso, dà il numero originale. Ad esempio, la radice quadrata di 0 è 0, la radice quadrata di 100 è 10 e la radice quadrata di 50 è 7,071. A volte, puoi capire, o semplicemente ricordare, la radice quadrata di un numero che a sua volta è un "quadrato perfetto", che è il prodotto di un intero moltiplicato per se stesso; man mano che avanzi nei tuoi studi, è probabile che tu sviluppi un elenco mentale di questi numeri (1, 4, 9, 25, 36.. .).

I problemi che coinvolgono le radici quadrate sono indispensabili in ingegneria, calcolo e virtualmente ogni regno del mondo moderno. Sebbene sia possibile individuare facilmente online i calcolatori di equazioni della radice quadrata (vedi Risorse per un esempio), risolvere le equazioni della radice quadrata è importante abilità in algebra, perché ti consente di acquisire familiarità con l'uso dei radicali e di lavorare con un numero di tipi di problemi al di fuori del regno delle radici quadrate di per sé.

Il fatto che moltiplicando insieme due numeri negativi si ottiene un numero positivo è importante nel mondo delle radici quadrate perché implica che i numeri positivi in ​​realtà hanno due radici quadrate (per esempio, le radici quadrate di 16 sono 4 e -4, anche se solo la prima è intuitiva). Allo stesso modo, i numeri negativi non hanno radici quadrate reali, perché non esiste un numero reale che assume un valore negativo quando moltiplicato per se stesso. In questa presentazione, la radice quadrata negativa di un numero positivo verrà ignorata, in modo che la "radice quadrata di 361" possa essere considerata come "19" anziché "-19 e 19".

Inoltre, quando si cerca di stimare il valore di una radice quadrata quando nessuna calcolatrice è utile, è importante rendersi conto che le funzioni che coinvolgono quadrati e radici quadrate non sono lineari. Vedrai di più su questo nella sezione sui grafici più avanti, ma come esempio approssimativo, hai già osservato che la radice quadrata di 100 è 10 e la radice quadrata di 0 è 0. A prima vista, questo potrebbe portarti a indovinare che la radice quadrata di 50 (che è a metà tra 0 e 100) deve essere 5 (che è a metà tra 0 e 10). Ma hai anche già imparato che la radice quadrata di 50 è 7,071.

Infine, potresti aver interiorizzato l'idea che moltiplicando due numeri insieme si ottiene un numero maggiore di se stesso, il che implica che le radici quadrate dei numeri sono sempre più piccole dell'originale numero. Questo non è il caso! Anche i numeri tra 0 e 1 hanno radici quadrate e, in ogni caso, la radice quadrata è maggiore del numero originale. Questo è più facilmente mostrato usando le frazioni. Ad esempio, 16/25, o 0,64, ha un quadrato perfetto sia al numeratore che al denominatore. Ciò significa che la radice quadrata della frazione è la radice quadrata dei suoi componenti superiore e inferiore, che è 4/5. Questo è uguale a 0,80, un numero maggiore di 0,64.

"La radice quadrata diX" viene solitamente scritto usando quello che viene chiamato un segno di radicale, o semplicemente un radicale (√). Così per qualsiasiX​:

rappresenta la sua radice quadrata. Capovolgendo questo, il quadrato di un numeroXè scritto usando un esponente di 2 (X​²). Gli esponenti prendono apici sull'elaborazione di testi e applicazioni correlate e sono anche chiamati poteri. Poiché i segni radicali non sono sempre facili da produrre su richiesta, un altro modo per scrivere "la radice quadrata diX" è usare un esponente:

Questo a sua volta fa parte di uno schema generale:

significa "alzare"Xal potere disì, quindi prendi il 'z' radice di esso."X​^1/2 quindi significa "alzareXalla prima potenza, che è semplicementeXdi nuovo, e poi prendi la radice 2 di esso, o la radice quadrata." Estendendo questo,X​^(5/3) significa "alzare"Xalla potenza di 5, quindi trova la terza radice (o radice cubica) del risultato."

I radicali possono essere usati per rappresentare radici diverse da 2, la radice quadrata. Questo viene fatto semplicemente aggiungendo un apice in alto a sinistra del radicale.

quindi, rappresenta lo stesso numero diX​^(5/3) dal paragrafo precedente lo fa.

La maggior parte delle radici quadrate sono numeri irrazionali. Ciò significa che non solo non sono interi carini e ordinati (ad es. 1, 2, 3, 4.. .), ma non possono nemmeno essere espressi come un numero decimale ordinato che termina senza dover essere arrotondato. Un numero razionale può essere espresso come una frazione. Quindi, anche se 2,75 non è un numero intero, è un numero razionale perché è la stessa cosa della frazione 11/4. Ti è stato detto in precedenza che la radice quadrata di 50 è 7,071, ma in realtà è arrotondata da un numero infinito di posizioni decimali. Il valore esatto di √50 è 5√2, e vedrai presto come viene determinato.

Hai già visto che le equazioni che coinvolgono quadrati e radici quadrate sono non lineari. Un modo semplice per ricordarlo è che i grafici delle soluzioni di queste equazioni non sono linee. Questo ha senso, perché se, come notato, il quadrato di 0 è 0 e il quadrato di 10 è 100 ma il quadrato di 5 non è 50, il grafico risultante dalla semplice quadratura di un numero deve curvare verso il corretto valori.

Questo è il caso del grafico di

come puoi vedere di persona visitando il calcolatore nelle Risorse e modificando i parametri. La linea passa per il punto (0,0) e y non scende sotto 0, cosa che dovresti aspettarti perché lo saiX​² non è mai negativo. Puoi anche vedere che il grafico è simmetrico attorno asì-axis, che ha anche senso perché ogni radice quadrata positiva di un dato numero è accompagnata da una radice quadrata negativa di uguale grandezza. Pertanto, ad eccezione di 0, ognisìvalore sul grafico disì​ = ​X​² è associato a dueX-valori.

Un modo per affrontare manualmente i problemi di radice quadrata di base è cercare i quadrati perfetti "nascosti" all'interno del problema. Innanzitutto, è importante essere consapevoli di alcune proprietà vitali dei quadrati e delle radici quadrate. Uno di questi è che, proprio come √X​² è semplicemente uguale aX(perché il radicale e l'esponente si annullano a vicenda):

Cioè, se hai un quadrato perfetto sotto un radicale che moltiplica un altro numero, puoi "tirarlo fuori" e usarlo come coefficiente di ciò che rimane. Ad esempio, tornando alla radice quadrata di 50

A volte puoi finire con un numero che coinvolge radici quadrate espresso come frazione, ma è ancora un numero irrazionale perché il denominatore, il numeratore o entrambi contengono un radicale. In tali casi, ti potrebbe essere chiesto di razionalizzare il denominatore. Ad esempio, il numero

ha un radicale sia al numeratore che al denominatore. Ma dopo aver esaminato "45", potresti riconoscerlo come il prodotto di 9 e 5, il che significa che

Pertanto, la frazione può essere scritta

I radicali si annullano a vicenda e ti rimane 6/3 = 2.