Se hai un'equazionesì = f(X), il suo insieme di soluzioni è la raccolta diXesìvalori – spesso scritti nella forma (X, sì) – che rendono vera l'equazione. In altre parole, rendono uguali tra loro i lati destro e sinistro dell'equazione. A seconda del tipo di equazione con cui hai a che fare, l'insieme di soluzioni potrebbe essere alcuni punti o una linea, oppure potrebbe anche essere una disuguaglianza, che puoi rappresentare graficamente una volta identificati due o più punti nella soluzione impostato.
La strategia per identificare il tuo set di soluzioni
L'identificazione dell'insieme di soluzioni di un'equazione di solito comporta tre passaggi: in primo luogo, si risolve l'equazione per una variabile in termini dell'altra; la convenzione è di risolvere persìin termini diX.Successivamente, identifica qualeXi valori possono far parte del tuo set di soluzioni. E infine, sostituisciXvalori nell'equazione per trovare il corrispondentesìvalori.
Suggerimenti
Se ti è stato chiesto di rappresentare graficamente il tuo set di soluzioni, non devi trovare ogni singolo punto in esso. Hai solo bisogno di quanto basta per definire la linea formata dall'insieme di soluzioni.
Esempio 1.Risolvi per il set di soluzioni di
2y = 6x
Per cosa "risolvi"sìin termini diX"significa davvero isolaresìda solo su un lato dell'equazione. In questo caso, dividi entrambi i membri dell'equazione per 2. Questo ti dà:
y = 3x
Quindi, controlla per vedere se ci sono degli invalidiXvalori. Ad esempio, se la tua equazione includeva una frazione come 3/X, useresti la tua conoscenza che non puoi avere zero alla fine di una frazione per dirti cheX= 0 non è un membro dell'insieme di soluzioni.
Ma con questo esempio,sì = 3X, non ci sonoXvalori che invaliderebbero l'equazione. Quindi puoi scegliere qualsiasiXvalori desiderati per la parte successiva del problema. Per semplicità, usaX= 1, 2, 3 per il passaggio successivo.
Sostituisci ilXvalori dall'ultimo passaggio nell'equazione, quindi risolvi per trovare ogni corrispondentesìvalore.
\text{Per } x = 1 \text{ hai } y = 3(1) \text{ o } y = 3 \\ \text{ Per } x = 2 \text{ hai } y = 3(2) \text{ o } y = 6 \\ \text{ Per } x = 3 \text{ hai } y = 3(3) \text{ o } y = 9
Quindi, se dati insieme, hai tre set di accoppiatiXesìvalori, o tre punti su una linea:
(1,3) (2,6) (3,9)
Rappresentazione grafica del set di soluzioni
Ora che hai impostato la tua soluzione, è il momento di tracciarla graficamente. C'è un po' di "magia dell'algebra" coinvolta qui, perché non tutte le equazioni risultano in una linea retta. Ma con l'attuale esempio di equazione disì = 3X, puoi usare la tua conoscenza dell'algebra per riconoscere che stai guardando la forma standard per l'equazione di una retta
y = mx + b
dovem= 3 eb= 0. Quindi questa equazione genera una linea retta. Ciò significa che hai solo bisogno di rappresentare graficamente due punti e collegarli per definire la linea, sebbene il terzo punto sia utile per controllare il tuo lavoro.
Suggerimenti
Assicurati di estendere la tua linea oltre i punti che hai disegnato. La notazione usuale è una piccola freccia a ciascuna estremità della linea, per mostrare che si estende all'infinito.
Rappresentazione grafica delle disuguaglianze come insieme di soluzioni
Lo stesso processo funziona per risolvere e rappresentare graficamente l'insieme di soluzioni di una disuguaglianza. Considera che ti viene chiesto di risolvere e rappresentare graficamente la disuguaglianza
-y ≥ 2x
Seguirai quasi esattamente gli stessi passaggi della risoluzione di un'equazione, con un paio di stranezze introdotte dalla presenza della disuguaglianza.
Attento: è una trappola! Ti ricordi che con la notazione di disuguaglianza, moltiplicare o dividere entrambi i lati dell'equazione per un numero negativo significa che devi invertire la direzione del segno di disuguaglianza?
Isolaresìda solo, moltiplica (o dividi) entrambi i membri per -1, che ti dà:
y -2x
Suggerimenti
Usando la tua conoscenza dell'algebra, puoi vedere che qualsiasi valore diXè possibile. Quindi, mentre potresti usare qualsiasiXvalori per il passaggio successivo, è comodo e semplice da usareX= 1, 2, 3 di nuovo.
Risolvere persìvalori, utilizzando ilXvalori che hai scelto nel passaggio precedente.
\text{ Quindi, per } x = 1 \text{, hai }y ≤ -2(1) \text{ o } y ≤ -2 \\ \text{ Per } x = 2 \text{, tu avere } y ≤ -2(2) \text{ o } y ≤ -4 \\ \text{ Per } x = 3 \text{, hai } y ≤ -2(3) \text{ o } y ≤ - 6
Le tue soluzioni abbinate sono:
(1,-2) (2,-4) (3,-6)
ma non dimenticare quel segno di disuguaglianza: è importante nel passaggio successivo.
Per prima cosa, traccia il grafico della linea rappresentata dai punti nel tuo set di soluzioni. Poiché il tuo segno di disuguaglianza ≤ si legge come "minore o uguale a", traccia la linea in modo solido; fa parte del tuo set di soluzioni. Se avessi a che fare con la disuguaglianza stretta
Quindi, ombreggia tutto sotto la pendenza della tua linea. Questi sono tutti i valori "minori" della linea e il grafico è completo.