Le equazioni sono vere se entrambi i lati sono uguali. Le proprietà delle equazioni illustrano concetti diversi che mantengono entrambi i lati di un'equazione uguali, sia che tu stia sommando, sottraendo, moltiplicando o dividendo. In algebra, le lettere stanno per numeri che non conosci e le proprietà sono scritte in lettere per dimostrare che qualunque numero tu inserisca, funzionerà sempre per essere vero. Potresti pensare a queste proprietà come a "regole algebriche" che puoi usare per aiutarti a risolvere problemi di matematica.
Proprietà associative e commutative
Proprietà associative e commutative entrambi hanno formule per l'addizione e la moltiplicazione. Ilproprietà commutativa dell'addizionedice che se aggiungi due numeri, non importa in che ordine li metti. Ad esempio, 4 + 5 è uguale a 5 + 4. La formula è:
a + b = b + a
Tutti i numeri per cui ti colleghiunebrenderà comunque vera la proprietà.
Ilproprietà commutativa della moltiplicazionela formula recita
a × b = b × a
Ciò significa che quando si moltiplicano due numeri, non importa quale numero si digita per primo. Otterrai comunque 10 se moltiplichi 2 × 5 o 5 × 2.
Ilproprietà associativa di addizionedice che se raggruppi due numeri e li aggiungi, e poi aggiungi un terzo numero, non importa quale raggruppamento usi. In forma di formula, sembra che
(a + b) + c = a + (b + c)
Per esempio
\text{ se } (2 + 3) + 4 = 9 \text{ allora } 2 + (3 + 4) = 9
Allo stesso modo, se moltiplichi due numeri e poi moltiplichi quel prodotto per un terzo numero, non importa quali due numeri moltiplichi per primi. In forma di formula, ilproprietà associativa della moltiplicazionesembra
(a × b) c = a (b × c)
Ad esempio, (2 × 3)4 si semplifica in 6 × 4, che equivale a 24. Se raggruppi 2 (3 × 4) avrai 2 × 12 e questo ti darà anche 24.
Proprietà matematiche: transitiva e distributiva
Ilproprietà transitivadice che seun = beb = c, poiun = c. Questa proprietà è usata spesso nella sostituzione algebrica. Per esempio,
\text{ if } 4x - 2 = y \text{ e } y = 3x + 4 \text{, quindi } 4x - 2 = 3x + 4
Se sai che questi due valori sono uguali tra loro, puoi risolvere perX. una volta che lo saiX, puoi risolvere persìse necessario.
Ilproprietà distributivati permette di eliminare le parentesi se c'è un termine al di fuori di esse, come 2(X− 4). Le parentesi in matematica indicano la moltiplicazione e distribuire qualcosa significa svenire. Quindi, per usare la proprietà distributiva per eliminare le parentesi, moltiplicare il termine al di fuori di esse perognitermine al loro interno. Quindi, moltiplicheresti 2 eXper ottenere 2X, e moltiplichi 2 e -4 per ottenere -8. Semplificato, questo sembra:
2(x - 4) = 2x - 8
La formula per la proprietà distributiva è
a (b + c) = ab + ac
Puoi anche usare la proprietà distributiva per estrarre un fattore comune da un'espressione. Questa formula è
ab + ac = a (b + c)
Ad esempio, nell'espressione 3X+ 9, entrambi i termini sono divisibili per 3. Tirare il fattore all'esterno delle parentesi e lasciare il resto all'interno: 3(X + 3).
Proprietà dell'algebra per i numeri negativi
Ilproprietà inversa additivadice che se aggiungi un numero con la sua versione inversa o negativa, otterrai zero. Ad esempio, -5 + 5 = 0. In un esempio del mondo reale, se devi a qualcuno $ 5 e poi ricevi $ 5, non avrai ancora soldi perché devi dare quei $ 5 per pagare il debito. La formula è
a + (−a) = 0 = (−a) + a
Ilproprietà inversa moltiplicativadice che se moltiplichi un numero per una frazione con uno al numeratore e quel numero al denominatore, otterrai uno:
a×\frac{1}{a} = 1
Se moltiplichi 2 per 1/2, ottieni 2/2. Qualsiasi numero su se stesso è sempre 1.
Proprietà della negazionedettare la moltiplicazione dei numeri negativi. Se moltiplichi un numero negativo e uno positivo, la tua risposta sarà negativa:
(-a)(b) = -ab \text{ e } -(ab) = -ab
Se moltiplichi due numeri negativi, la tua risposta sarà positiva:
-(-a) = a \text{ e } (-a)(-b) = ab
Se hai un negativo al di fuori di una parentesi, quel negativo è attaccato a un invisibile 1. Che -1 è distribuito a ogni termine all'interno delle parentesi. La formula è
-(a + b) = (-a) + (-b) = - a - b
Per esempio
-(x - 3) = -x + 3
perché moltiplicando -1 e -3 otterrai 3.
Proprietà di Zero
Ilproprietà di identità di addizioneafferma che se aggiungi un numero qualsiasi e zero, otterrai il numero originale:
a + 0 = a
Per esempio,
4 + 0 = 4
Ilproprietà moltiplicativa di zeroafferma che quando moltiplichi qualsiasi numero per zero, otterrai sempre zero:
a ×0 = 0
Per esempio
4 × 0 = 0
Usando ilproprietà del prodotto zero,puoi sapere con certezza che se il prodotto di due numeri è zero, allora uno dei multipli è zero. La formula afferma che
\text{ se } ab = 0\text{, quindi }a = 0 \text{ o } b = 0
Proprietà delle uguaglianze
Le proprietà delle uguaglianze affermano che ciò che fai a un lato dell'equazione, devi farlo all'altro. Iladdizione proprietà di uguaglianzaafferma che se hai un numero su un lato, devi aggiungerlo all'altro. Per esempio,
\text{ se } 5 + 2 = 3 + 4\text{, quindi } 5 + 2 + 3 = 3 + 4 + 3
Ilproprietà di sottrazione dell'uguaglianzaafferma che se si sottrae un numero da un lato, lo si deve sottrarre dall'altro. Per esempio,
\text{ se } x + 2 = 2x - 3\text{, quindi } x + 2 - 1 = 2x - 3 - 1
Questo ti darebbe
x + 1 = 2x - 4
eXsarebbe uguale a 5 in entrambe le equazioni.
Ilproprietà di moltiplicazione dell'uguaglianzaafferma che se moltiplichi un numero per un lato, devi moltiplicarlo per l'altro. Questa proprietà consente di risolvere equazioni di divisione. Ad esempio, se
\frac{x}{4} = 2
moltiplica entrambi i membri per 4 per ottenereX = 8.
Ilproprietà di divisione dell'uguaglianzati permette di risolvere equazioni di moltiplicazione perché quello che dividi da una parte, devi dividere dall'altra. Ad esempio, dividi
2x = 8
di 2 su entrambi i lati, cedendo
x = 4