Prima di iniziare a semplificare o manipolare in altro modo le espressioni razionali, prenditi un momento per rivedere cosa l'espressione razionale stessa è: Una frazione con un polinomio sia al numeratore che al denominatore. O, per dirla in altro modo, un rapporto tra un polinomio e un altro. Una volta identificata un'espressione razionale, il processo di semplificazione si riduce a tre passaggi.
I passaggi per semplificare le espressioni razionali
Il processo per semplificare le funzioni razionali segue una tabella di marcia abbastanza semplice. La prima cosa che devi fare è combinare termini simili, se non l'hai già fatto, per aiutarti a vedere chiaramente i polinomi.
Quindi, fattorizza ogni polinomio. A volte tutto ciò che devi fare è scrivere ogni termine. Ad esempio, è chiaro che 4x (che in effetti è un polinomio, anche se ha un solo termine) ha due fattori: 4 e X. Ma con polinomi più complicati, lo strumento migliore è spesso riconoscere modelli per tipi specifici di polinomi di cui hai già appreso. Ad esempio, se hai prestato molta attenzione alle tue formule, potresti ricordare che un polinomio della forma
un2 - b2 fattori fuori a (a + b)(a - b).Una volta che i tuoi polinomi sono stati completamente scomposti, l'ultimo passaggio consiste nell'eliminare tutti i fattori comuni che appaiono sia nel numeratore che nel denominatore. Il risultato è il tuo polinomio semplificato.
Suggerimenti
E se i polinomi nella tua espressione razionale non fossero di una forma che sai come fattorizzare facilmente? Ci sono altre tecniche che puoi usare per fattorizzarli, come completare il quadrato o usare la formula quadratica.
Un avvertimento sul denominatore
Potresti non essere sorpreso di sentire che c'è un piccolo problema qui. Di solito il dominio (o insieme di possibili X valori) per la tua espressione razionale si presume sia l'insieme di tutti i numeri reali. Ma se succede qualcosa per rendere zero il denominatore della tua frazione, il risultato è una frazione indefinita.
Cosa renderebbe il tuo denominatore zero? Di solito basta un piccolo esame per scoprirlo. Ad esempio, se il denominatore della tua frazione è stato ridotto ai fattori (x + 2)(x - 2), quindi il valore X = -2 renderebbe il primo fattore uguale a zero, e X = 2 renderebbe il secondo fattore uguale a zero.
Quindi entrambi questi valori, -2 e 2, devono essere esclusi dal dominio della tua espressione razionale. Di solito lo noterai con il segno "non uguale" o ≠. Ad esempio, se devi escludere -2 e 2 dal dominio, dovresti scrivere x≠ -2, 2.
Semplificare le espressioni razionali: esempi
Ora che hai compreso il processo di semplificazione delle espressioni razionali, è il momento di guardare un paio di esempi.
Esempio 1: Semplifica l'espressione razionale (X2 - 4) / (x2+ 4x + 4)
Non ci sono termini simili da combinare qui, quindi puoi saltare il primo passaggio. Successivamente, con i tuoi occhi attenti e un po' di pratica, puoi notare che il numeratore e il denominatore sono entrambi facilmente scomponibili:
(x + 2)(x - 2) / (x + 2)(x + 2)
Forse capirai anche quello (x + 2) è un fattore sia del numeratore che del denominatore. Una volta annullato il fattore condiviso, ti rimane:
(x - 2) / (x + 2)
Hai semplificato il più possibile la tua espressione razionale, ma c'è un'altra cosa da fare: identificare qualsiasi "zero" o radice che risulterebbe in una frazione indefinita, quindi puoi escluderli dal dominio. In questo caso, è facile vedere dall'esame che quando X = -2, il fattore in basso sarà uguale a zero. Quindi la tua espressione razionale semplificata è in realtà:
(x - 2) / (x + 2), x -2
Esempio 2: Semplifica l'espressione razionale x / (x2 - 4x)
Non ci sono termini simili da combinare, quindi puoi passare direttamente al factoring esaminando. Non è troppo difficile individuare che puoi fattorizzare un X dal termine inferiore, che ti dà:
x / x (x - 4)
Puoi cancellare il X fattore sia dal numeratore che dal denominatore, che ti lascia con:
1 / (x - 4)
Ora la tua espressione razionale è semplificata, ma devi anche annotare qualsiasi X valori che risulteranno in una frazione indefinita. In questo caso, X = 4 restituirebbe un valore pari a zero al denominatore. Quindi la tua risposta è:
1 / (x - 4), x 4