proprietà associative, insieme alle proprietà commutative e distributive, forniscono la base per gli strumenti algebrici utilizzati per manipolare, semplificare e risolvere le equazioni. Tuttavia, queste proprietà non sono solo utili nella classe di matematica, ma aiutano anche a rendere più facili i problemi di matematica di tutti i giorni. Mentre ci sono solo due proprietà associative, la proprietà associativa di addizione e la proprietà associativa di sottrazione, due "pseudo" associative proprietà di sottrazione e la divisione può essere utilizzata con un piccolo pensiero in più.
Proprietà associativa dell'addizione
La proprietà associativa dell'addizione consente di raggruppare determinate parti di una catena di termini o "pezzi" che vengono aggiunti senza modificare il significato o la risposta. Questo raggruppamento viene eseguito spostando le posizioni delle parentesi. Ad esempio, (3 + 4 + 5) + (7 + 6) potrebbe essere modificato utilizzando la proprietà associativa dell'addizione in questo modo: (3+4) + (5 + 7 + 6). Puoi verificare che la proprietà sia vera seguendo l'ordine delle operazioni, che dice che le operazioni all'interno delle parentesi deve essere fatto per primo, e osservando che (12) + (13) è uguale a 25 mentre (7) + (18) anche è uguale a 25.
Proprietà associativa della moltiplicazione
La proprietà associativa della moltiplicazione funziona esattamente come quella dell'addizione, tranne per il fatto che si occupa dell'operazione di moltiplicazione. Quindi, sostiene che puoi cambiare le parentesi in una stringa di moltiplicazione senza influenzare il risultato. Ad esempio, (15 x 2) (3 x 4) (6 x 2) potrebbe essere riscritto come (15 x 2 x 3) (4 x 6 x 2) e otterresti comunque la stessa risposta. Questa proprietà ti consente anche di lavorare con la moltiplicazione quando si tratta di variabili e dei loro coefficienti. Ad esempio, non potresti fare 4(3X) perché X è un'incognita e dovresti prima fare 3 x X secondo l'ordine delle operazioni. Tuttavia, la proprietà associativa della moltiplicazione ti consente di riscrivere 4(3X) come (4x3)X che poi ti dà 12X.
Sottrazione
Non esiste una proprietà associativa della sottrazione. Tuttavia, in alcuni casi puoi lavorare con la sottrazione modificandola in "più un numero negativo". Ad esempio, (3X - 4X) + (13X - 2X - 6X) potrebbe essere prima cambiato in (3X + -4X) + (13X + -2X + -6X). Quindi, puoi applicare la proprietà associativa dell'addizione in modo che assomigli a questa: (3X + -4X +13X) + (-2X + 6X). Ciò, tuttavia, non funzionerà se il segno di sottrazione nel problema originale si trova tra gli insiemi di parentesi. (Per questo, è necessaria la proprietà distributiva).
Divisione
Non vi è inoltre alcuna proprietà associativa di divisione. Pertanto, la divisione deve essere riscritta come moltiplicazione per un reciproco. Se un'espressione dice: (5 x 7/3)(3/4 x 6), dovresti cambiarla in: (5 x 7 x 1/3) x ( 3 x 1/4 x 6). Successivamente, puoi usare la proprietà associativa per scriverlo come (5 x 7) x (1/3 x 3 x 1/4 x 6). Tuttavia, come con la sottrazione, non puoi usare questa tecnica se il segno di divisione è tra parentesi.