La fattorizzazione dei polinomi aiuta i matematici a determinare gli zeri, o soluzioni, di una funzione. Questi zeri indicano cambiamenti critici nei tassi crescenti e decrescenti e generalmente semplificano il processo di analisi. Per i polinomi di grado tre o superiore, il che significa che l'esponente più alto sulla variabile è tre o più, il factoring può diventare più noioso. In alcuni casi, i metodi di raggruppamento accorciano l'aritmetica, ma in altri casi potrebbe essere necessario saperne di più sulla funzione, o polinomio, prima di poter procedere ulteriormente con l'analisi.
Analizzare il polinomio per considerare la fattorizzazione per raggruppamento. Se il polinomio è nella forma in cui la rimozione del massimo comun divisore (GCF) dal i primi due termini e gli ultimi due termini rivelano un altro fattore comune, puoi utilizzare il raggruppamento metodo. Ad esempio, sia F(x) = x³ – x² – 4x + 4. Quando rimuovi il GCF dal primo e dagli ultimi due termini, ottieni quanto segue: x²(x – 1) – 4 (x – 1). Ora puoi estrarre (x – 1) da ogni parte per ottenere, (x² – 4) (x – 1). Usando il metodo della "differenza di quadrati", puoi andare oltre: (x – 2) (x + 2) (x – 1). Una volta che ogni fattore è nella sua forma prima o non fattorizzabile, hai finito.
Cerca una differenza o una somma di cubi. Se il polinomio ha solo due termini, ciascuno con un cubo perfetto, puoi fattorizzarlo in base a formule cubiche note. Per le somme, (x³ + y³) = (x + y) (x² – xy + y²). Per le differenze, (x³ – y³) = (x – y) (x² + xy + y²). Ad esempio, sia G(x) = 8x³ – 125. Quindi la fattorizzazione di questo polinomio di terzo grado si basa su una differenza di cubi come segue: (2x – 5) (4x² + 10x + 25), dove 2x è la radice cubica di 8x³ e 5 è la radice cubica di 125. Poiché 4x² + 10x + 25 è primo, hai finito di fattorizzare.
Vedi se c'è un GCF contenente una variabile che può ridurre il grado del polinomio. Ad esempio, se H(x) = x³ – 4x, calcolando il GCF di "x", otterresti x (x² - 4). Quindi, usando la tecnica della differenza dei quadrati, puoi scomporre ulteriormente il polinomio in x (x – 2) (x + 2).
Utilizzare soluzioni note per ridurre il grado del polinomio. Ad esempio, sia P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10. Poiché non sono presenti GCF o differenza/somma dei cubi, è necessario utilizzare altre informazioni per scomporre il polinomio. Una volta scoperto che P(c) = 0, sai che (x – c) è un fattore di P(x) basato sul "Teorema del fattore" dell'algebra. Pertanto, trova una "c". In questo caso, P(5) = 0, quindi (x – 5) deve essere un fattore. Usando una divisione sintetica o lunga, ottieni un quoziente di (x² + x – 2), che viene calcolato in (x – 1) (x + 2). Pertanto, P(x) = (x – 5) (x – 1) (x + 2).