L'algebra spesso implica la semplificazione delle espressioni, ma alcune espressioni sono più confuse da affrontare rispetto ad altre. I numeri complessi coinvolgono la quantità nota comeio, un numero “immaginario” con la proprietàio= √−1. Se devi semplicemente un'espressione che coinvolge un numero complesso, potrebbe sembrare scoraggiante, ma è un processo abbastanza semplice una volta apprese le regole di base.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Semplifica i numeri complessi seguendo le regole dell'algebra con i numeri complessi.
Che cos'è un numero complesso?
I numeri complessi sono definiti dalla loro inclusione diiotermine, che è la radice quadrata di meno uno. Nella matematica di livello base, le radici quadrate dei numeri negativi non esistono realmente, ma si presentano occasionalmente nei problemi di algebra. La forma generale per un numero complesso mostra la loro struttura:
z = a + bi
Dovezetichetta il numero complesso,unrappresenta qualsiasi numero (chiamato la parte "reale"), e
brappresenta un altro numero (chiamato la parte "immaginaria"), entrambi i quali possono essere positivi o negativi. Quindi un numero complesso di esempio è:z = 2 −4i
Poiché tutte le radici quadrate dei numeri negativi possono essere rappresentate da multipli diio, questa è la forma per tutti i numeri complessi. Tecnicamente, un numero regolare descrive solo un caso speciale di un numero complesso doveb= 0, quindi tutti i numeri possono essere considerati complessi.
Regole di base per l'algebra con numeri complessi
Per aggiungere e sottrarre numeri complessi, è sufficiente aggiungere o sottrarre separatamente le parti reale e immaginaria. Quindi per i numeri complessiz = 2 – 4ioew = 3 + 5io, la somma è:
\begin{allineato} z + w &= (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i \\ &= 5 + 1i \\ &= 5 + io \end{allineato}
La sottrazione dei numeri funziona allo stesso modo:
\begin{allineato} z- w &= (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ &= (2 - 3) + (-4 - 5)i \\ &= -1 -9i \end{allineato }
La moltiplicazione è un'altra operazione semplice con numeri complessi, perché funziona come una normale moltiplicazione, tranne per il fatto che devi ricordarloio2 = −1. Quindi per calcolare 3io × −4io:
3i × -4i = -12i^2
Ma dal momento cheio2= −1, allora:
-12i^2 = -12 ×-1 = 12
Con numeri complessi completi (usandoz = 2 – 4ioew = 3 + 5iodi nuovo), li moltiplichi nello stesso modo in cui faresti con numeri ordinari come (un + b) (c + d), utilizzando il metodo “primo, interno, esterno, ultimo” (FOIL), per dare (un + b) (c + d) = AC + avanti Cristo + anno Domini + bd. Tutto quello che devi ricordare è di semplificare qualsiasi istanza diio2. Quindi ad esempio:
\begin{allineato} z × w &= (2 -4i)(3 + 5i) \\ &= (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ &= 6 -12i + 10i - 20i^2 \\ &= 6 -2i + 20 \\ &= 26 + 2i \end{allineato}
Divisione di numeri complessi
La divisione di numeri complessi comporta la moltiplicazione del numeratore e del denominatore della frazione per il coniugato complesso del denominatore. Il complesso coniugato indica solo la versione del numero complesso con la parte immaginaria invertita di segno. Così perz = 2 – 4io, il complesso coniugatoz = 2 + 4io, e perw = 3 + 5io, w = 3 −5io. Per il problema:
\frac{z}{w} = \frac{2 -4i}{3 + 5i}
Il coniugato necessario èw*. Dividi numeratore e denominatore per questo per ottenere:
\frac{z}{w} = \frac{(2 -4i)(3 -5i)}{(3 + 5i)(3-5i)}
E poi procedi come nella sezione precedente. Il numeratore dà:
\begin{allineato} (2 -4i) (3 -5i) &= 6 -12i- 10i + 20i^2 \\ &= -14-22i \end{allineato}
E il denominatore dà:
\begin{allineato} (3 + 5i)(3-5i) &= 9 + 15i - 15i -25i^2 \\ &= 9 + 25 \\ &= 34 \end{allineato}
Questo significa:
\begin{allineato} \frac{z}{w} &= \frac{-14 - 22i}{34} \\ \,\\ &= \frac{-14}{34} - \frac{22i}{ 34} \\ \,\\ &= \frac{-7}{17} -\frac{11i}{17} \end{allineato}
Semplificare i numeri complessi
Utilizzare le regole sopra come necessario per semplificare le espressioni complesse. Per esempio:
z = \frac{(4 + 2i) + (2 -i)}{(2 + 2i)(2+ i)}
Questo può essere semplificato usando la regola di addizione al numeratore, la regola di moltiplicazione al denominatore e poi completando la divisione. Per il numeratore:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Per il denominatore:
\begin{allineato} (2 + 2i)(2+ i) &= 4 + 4i + 2i + 2i^2 \\ &= (4 -2) + 6i \\ &= 2 + 6i \end{allineato}
Rimettendoli a posto si ottiene:
z = \frac{6 + i}{2 + 6i}
Moltiplicando entrambe le parti per il coniugato del denominatore si ottiene:
\begin{allineato} z &= \frac{(6 + i) (2 - 6i)}{(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \,\\ &= \frac{12 + 2i -36i -6i^2}{4 + 12i -12i -36i^2} \\ \,\\ &= \frac{18 - 34i}{40} \\ \,\\ &= \frac{9 - 17i}{20} \\ \,\\ &= \ frac{9}{20} -\frac{17i}{20} \\ \end{allineato}
Quindi questo significazsi semplifica come segue:
\begin{allineato} z &= \frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2+ i)} \\ &= \frac{9}{20} -\frac {17i}{20} \\ \end{allineato}