In matematica, una funzione è un processo che applichi a una variabile indipendenteXper ottenere la variabile dipendentesì. Se lo pensi come "andare dal" tuoXper arrivare al tuosì, una funzione inversa va nella direzione opposta, dal risultato al valore originale. In un certo senso, una funzione inversa è l'opposto dell'originale, "annullando" il processo.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Un inverso di una funzione matematica inverte i ruoli disìeXnella funzione originaria.
Funzioni e inverse
I matematici definiscono una funzione come un processo o una regola che genera le coppie ordinate di un insieme. Puoi pensare al primo membro della coppia come alXdella funzione, e il secondo membro comesì. In una funzione vera, il primo valore ha un solo valore di soluzione che lo accompagna. quindi ciascunoXil valore ha un solo corrispondentesìvalore. Quindi, l'equazione per la linea orizzontale,sì= 1 è una funzione, ma la linea verticale,X= 1 non lo è.
Disegna un grafico
Il grafico di una funzione e il suo inverso sono riflessi l'uno dell'altro, con una linea che rappresenta
sì = Xfungendo da "specchio". Per fare un esempio, il grafico della funzione logaritmo naturale, ln(X), inizia all'infinito negativo alsìasse e appena a destra dello zero sulXasse. Da lì, attraversa ilXasse nel punto, (1,0) e ha una curva leggermente ascendente sopra ilXasse. Il suo inverso, la funzione dell'esponente naturale exp(X), ha ilX-asse come suo asintoto, partendo da infinito negativo sulXasse, appena sopra di esso. Attraversa ilsìasse a (0,1) e curva fortemente verso l'alto. Disegna le due funzioni su un grafico, quindi disegna la lineasì = X, e vedrai che exp(X) e ln(X) si rispecchiano a vicenda.seno e coseno
Sebbene le funzioni seno e coseno siano correlate, una non è l'inversa dell'altra. Le funzioni seno e coseno producono risultati grafici simili, anche se il coseno "porta" il seno di 90 gradi. Inoltre, il coseno è la derivata del seno. Tuttavia, l'inverso della funzione seno è l'arcoseno e l'inverso del coseno è l'arcoseno.
Trovare una Funzione Inversa
È relativamente facile trovare l'inverso di molte funzioni: scambiare il "sì" e "X” nell'equazione, quindi risolvere persì. Ad esempio, si consideri l'equazione
y = 2x + 4
Scambiare y perXdà
x = 2y + 4
Sottrai 4 da entrambi i lati per ottenere
x - 4 = 2y
e poi dividi entrambi i membri per 2 per ottenere
\frac{x}{2} - 2 = y
che è la funzione inversa.
Non-funzioni inverse
Non tutti gli inversi di funzioni sono anche funzioni. Ricordiamo che la definizione di funzioni dice che ogniXne ha solo unosìvalore. Sebbene l'arcoseno sia l'inverso della funzione seno, l'arcoseno non è tecnicamente una funzione, comeXi valori hanno infiniti corrispondentisìvalori. È vero anche con
y = x^2 \text{ e } y = \sqrt{x}
la prima è una funzione, e la seconda è la sua inversa, ma la radice quadrata dà due corrispondentisìvalori, positivi e negativi, rendendola non una vera funzione.