La differenza tra la meccanica classica e la meccanica quantistica è enorme. Mentre nella meccanica classica le particelle e gli oggetti hanno posizioni ben definite, nella meccanica quantistica (prima di una misurazione) a si può solo dire che la particella ha una gamma di possibili posizioni, che sono descritte in termini di probabilità dall'onda funzione.
L'equazione di Schrodinger definisce la funzione d'onda dei sistemi di meccanica quantistica e imparare a usarla e interpretarla è una parte importante di qualsiasi corso di meccanica quantistica. Uno degli esempi più semplici di una soluzione a questa equazione è per una particella in una scatola.
La funzione d'onda
In meccanica quantistica, una particella è rappresentata da aFunzione d'onda. Questo è solitamente indicato dalla lettera greca psi (Ψ) e dipende sia dalla posizione che dal tempo, e contiene tutto ciò che si può sapere sulla particella.
Il modulo di questa funzione al quadrato ti dice la probabilità che la particella si trovi in posizione
Xalla voltat, a condizione che la funzione sia "normalizzata". Questo significa solo regolato in modo che sia certo di essere trovato aalcuniposizioneXal tempotquando i risultati in ogni posizione sono sommati, cioè la condizione di normalizzazione dice che:\int_{-\infty}^\infty \vertΨ\vert^2 = 1
È possibile utilizzare la funzione d'onda per calcolare il valore atteso per la posizione di una particella in un momentot, dove il valore di aspettativa indica solo il valore medio che otterrestiXse hai ripetuto la misurazione un numero elevato di volte. Naturalmente, questo non significa che sarà il risultato che otterresti per ogni misura data, cioèeffettivamentecasuale, sebbene alcune località siano generalmente sostanzialmente più probabili di altre.
Ci sono molte altre quantità per cui puoi calcolare i valori di aspettativa, come i valori di quantità di moto ed energia, così come molti altri "osservabili".
Equazione di Schrodinger
L'equazione di Schrodinger è un'equazione differenziale che viene utilizzata per trovare il valore della funzione d'onda e gli autostati per l'energia della particella. L'equazione può essere derivata dalla conservazione dell'energia e dalle espressioni per l'energia cinetica e potenziale di una particella. Il modo più semplice per scriverlo è:
H(Ψ) =iℏ\frac{\partialΨ}{\parziale t}
Ma quiHrappresenta laOperatore hamiltoniano, che di per sé è un'espressione abbastanza lunga:
H = \frac{−ℏ}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)
Qui,mè la massa, è la costante di Planck divisa per 2π, eV (X) è una funzione generale per l'energia potenziale del sistema. L'Hamiltoniana ha due parti distinte: il primo termine è l'energia cinetica del sistema e il secondo termine è l'energia potenziale.
Ogni valore osservabile in meccanica quantistica è associato a un operatore e, nella versione indipendente dal tempo dell'equazione di Schrodinger, l'Hamiltoniano è l'operatore energetico. Tuttavia, nella versione dipendente dal tempo mostrata sopra, l'Hamiltoniana genera anche l'evoluzione temporale della funzione d'onda.
Combinando tutte le informazioni contenute nell'equazione, è possibile descrivere l'evoluzione della particella nello spazio e nel tempo e prevedere i possibili valori energetici anche per essa.
L'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo
La parte dell'equazione dipendente dal tempo può essere rimossa - per descrivere una situazione che non si evolve in modo notevole con il tempo - separando la funzione d'onda in parti spaziali e temporali:Ψ(X, t) = Ψ(X) f(t). Le parti dipendenti dal tempo possono quindi essere cancellate dall'equazione, il che lascia la versione indipendente dal tempo dell'equazione di Schrodinger:
H Ψ(x) = E (Ψ (x))
Eè l'energia del sistema. Questa ha la forma esatta di un'equazione agli autovalori, conΨ(X) essendo l'autofunzione, eEessendo l'autovalore, motivo per cui l'equazione indipendente dal tempo è spesso chiamata l'equazione dell'autovalore per l'energia di un sistema quantomeccanico. La funzione tempo è semplicemente data da:
f (t) = e^{-iEt/ℏ}
L'equazione indipendente dal tempo è utile perché semplifica i calcoli per molte situazioni in cui l'evoluzione temporale non è particolarmente cruciale. Questa è la forma più utile per i problemi di "particella in una scatola" e anche per determinare i livelli di energia degli elettroni attorno a un atomo.
Particle in a Box (Pozzo quadrato infinito)
Una delle soluzioni più semplici per l'equazione di Schrodinger indipendente dal tempo è per una particella in an pozzo quadrato infinitamente profondo (cioè un pozzo potenziale infinito), o una scatola unidimensionale di base lunghezzal. Naturalmente, queste sono idealizzazioni teoriche, ma danno un'idea di base di come si risolve l'equazione di Schrodinger senza tenere conto di molte delle complicazioni che esistono in natura.
Con l'energia potenziale impostata su 0 al di fuori del pozzo dove anche la densità di probabilità è 0, l'equazione di Schrodinger per questa situazione diventa:
\frac{−ℏ^2}{2m} \frac{d^2Ψ(x)}{dx^2} = E Ψ(x)
E la soluzione generale per un'equazione di questa forma è:
Ψ(x) = A \sin (kx) + B \cos (kx)
Tuttavia, guardare le condizioni al contorno può aiutare a restringere il campo. PerX= 0 eX= L, cioè i lati della scatola o le pareti del pozzo, la funzione d'onda deve andare a zero. La funzione coseno ha valore 1 quando l'argomento è 0, quindi affinché le condizioni al contorno siano soddisfatte, la costanteBdeve essere uguale a zero. Questo lascia:
Ψ(x) = A \sin (kx)
È inoltre possibile utilizzare le condizioni al contorno per impostare un valore perK. Poiché la funzione sin va a zero ai valorin, dove numero quanticon= 0, 1, 2, 3… e così via, questo significa quandoX = l, l'equazione funzionerà solo seK = nπ / l. Infine, puoi usare il fatto che la funzione d'onda deve essere normalizzata per trovare il valore diUN(integra tutto il possibileXvalori, ovvero da 0 al, quindi imposta il risultato uguale a 1 e riorganizza), per arrivare all'espressione finale:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
Usando l'equazione originale e questo risultato, puoi quindi risolvere perE, che produce:
E = \frac{n^2ℎ^2}{8mL^2}
Nota che il fatto chenè in questa espressione significa che i livelli di energia sonoquantizzato, quindi non possono prenderequalunquevalore, ma solo un insieme discreto di valori di livello energetico specifici che dipendono dalla massa della particella e dalla lunghezza della scatola.
Particle in a Box (Pozzetto quadrato finito)
Lo stesso problema diventa un po' più complicato se il pozzo potenziale ha un'altezza di parete finita. Ad esempio, se il potenzialeV (X) assume il valoreV0 all'esterno del pozzo di potenziale e 0 al suo interno, la funzione d'onda può essere determinata nelle tre principali regioni interessate dal problema. Questo è un processo più complesso, tuttavia, quindi qui sarai solo in grado di vedere i risultati piuttosto che eseguire l'intero processo.
Se il pozzo è aX= da 0 aX = lancora, per la regione doveX< 0 la soluzione è:
Ψ(x) = Be^{kx}
Per la regioneX > l, è:
Ψ(x) = Ae^{-kx}
Dove
k = \sqrt{\frac{2me}{ℏ^2}}
Per la regione all'interno del pozzo, dove 0 <X < l, la soluzione generale è:
Ψ(x) = C\sin (wx) + D\cos (wx)
Dove
w = \sqrt{\frac{-2m (E+V_0)}{ℏ^2}}
È quindi possibile utilizzare le condizioni al contorno per determinare i valori delle costantiUN, B, CeD, notando che oltre ad avere valori definiti alle pareti del pozzo, la funzione d'onda e la sua prima derivata devono essere continue ovunque, e la funzione d'onda deve essere finita ovunque.
In altri casi, come scatole poco profonde, scatole strette e molte altre situazioni specifiche, ci sono approssimazioni e soluzioni diverse che puoi trovare.