Come Calcolare la Sfericità

Quando si confrontano modelli teorici di come funzionano le cose con le applicazioni del mondo reale, i fisici spesso approssimano la geometria degli oggetti usando oggetti più semplici. Questo potrebbe essere l'uso di cilindri sottili per approssimare la forma di un aeroplano o una linea sottile e priva di massa per approssimare la corda di un pendolo.

Sphericity ti dà un modo per approssimare quanto gli oggetti sono vicini alla sfera. Puoi, ad esempio, calcolare la sfericità come approssimazione della forma della Terra che, di fatto, non è una sfera perfetta.

Quando trovi la sfericità per una singola particella o oggetto, puoi definire la sfericità come il rapporto della superficie dall'area di una sfera che ha lo stesso volume della particella o dell'oggetto all'area della superficie della particella si. Questo non deve essere confuso con il Test di Sfericità di Mauchly, una tecnica statistica per testare le ipotesi all'interno dei dati.

Messa in termini matematici, la sfericità data daΨ("psi") è:

per il volume della particella o dell'oggettoV_pe la superficie della particella o dell'oggettoUN_p. Puoi capire perché questo è il caso attraverso alcuni passaggi matematici per derivare questa formula.

Innanzitutto, trovi un altro modo per esprimere l'area superficiale di una particella.

1. ​UN_S = 4πr​²: Inizia con la formula per l'area della superficie di una sfera in termini di raggior​.
2. ​( 4πr²​ ​)​^{​3 ​}: Cubettalo portandolo alla potenza di 3.
3. ​4³π​³​r​⁶: Distribuire l'esponente 3 in tutta la formula.
4. ​4π(​4²π²​r​⁶): Scomponi il4πposizionandolo all'esterno utilizzando le parentesi.
   
5. ​4x 3² (​​4²π​²​r​⁶ ​/​​3²): Scomporre3².​
   
6. ​36​​π (​​4π​​r​³​/3​​)​²: Calcola l'esponente di 2 dalle parentesi per ottenere il volume di una sfera.
7. ​36πV_p²: Sostituisci il contenuto tra parentesi con il volume di una sfera per una particella.
8. ​UN_S = (36V_p²)^1/3: Quindi, puoi prendere la radice cubica di questo risultato in modo da tornare alla superficie.
9. 36^1/3​π​^1/3​V​_p^2/3: Distribuire l'esponente di 1/3 in tutto il contenuto tra parentesi.
10. ​π​^1/3(6​V​_p)^2/3: Escludi ilπ​^1/3 dal risultato del passaggio 9. Questo ti dà un metodo per esprimere la superficie.
    

Quindi, da questo risultato di un modo di esprimere l'area superficiale, puoi riscrivere il rapporto tra l'area superficiale di una particella e il volume di una particella con

che è definito comeΨ. Poiché è definito come un rapporto, la sfericità massima che un oggetto può avere è una, che corrisponde a una sfera perfetta.

È possibile utilizzare valori diversi per modificare il volume di oggetti diversi per osservare come la sfericità dipenda maggiormente da determinate dimensioni o misurazioni rispetto ad altre. Ad esempio, quando si misura la sfericità delle particelle, è molto più probabile che l'allungamento delle particelle in una direzione aumenti la sfericità rispetto alla modifica della rotondità di alcune parti di essa.

Usando l'equazione per la sfericità, puoi determinare la sfericità di un cilindro. Dovresti prima capire il volume del cilindro.. Quindi, calcola il raggio di una sfera che avrebbe questo volume. Trova la superficie di questa sfera con questo raggio, quindi dividila per la superficie del cilindro.

Se hai un cilindro con un diametro di 1 m e un'altezza di 3 m, puoi calcolarne il volume come prodotto dell'area della base e dell'altezza. Questo sarebbe

Perché il volume di una sfera èV = 4πr³/3, puoi calcolare il raggio di questo volume come

Per una sfera con questo volume, avrebbe raggio r =(2,36 m³ x (3/4​​π)​​)^1/3 = 0,83 m.​

La superficie di una sfera con questo raggio sarebbeA = 4πr²o 4r²o 8,56 m³. Il cilindro ha una superficie di 11,00 m² dato daA = 2(πr​²​) + 2πr x h, che è la somma delle aree delle basi circolari e dell'area della superficie curva del cilindro. Questo dà una sfericitàΨdi .78 dalla divisione della superficie della sfera con la superficie del cilindro.

È possibile accelerare questo processo graduale che coinvolge volume e superficie di un cilindro insieme a volume e superficie sono di una sfera utilizzando metodi computazionali in grado di calcolare queste variabili una per una molto più rapidamente di un essere umano può. L'esecuzione di simulazioni al computer utilizzando questi calcoli è solo un'applicazione della sfericità.

La sfericità ha avuto origine in geologia. Poiché le particelle tendono ad assumere forme irregolari con volumi difficili da determinare, il geologo Hakon Wadell ha creato una definizione più applicabile che utilizza il rapporto tra il diametro nominale della particella, il diametro di una sfera con lo stesso volume di un grano, al diametro della sfera che ingloberebbe esso.

Attraverso questo, ha creato il concetto di sfericità che potrebbe essere utilizzato insieme ad altre misurazioni come la rotondità nella valutazione delle proprietà delle particelle fisiche.

Oltre a determinare quanto i calcoli teorici siano vicini agli esempi del mondo reale, la sfericità ha una varietà di altri usi. I geologi determinano la sfericità delle particelle sedimentarie per capire quanto sono vicine alle sfere. Da lì, possono calcolare altre quantità come le forze tra le particelle o eseguire simulazioni di particelle in ambienti diversi.

Queste simulazioni al computer consentono ai geologi di progettare esperimenti e studiare le caratteristiche della terra come il movimento e la disposizione dei fluidi tra le rocce sedimentarie.

I geologi possono usare la sfericità per studiare l'aerodinamica delle particelle vulcaniche. Le tecnologie di scansione laser tridimensionale e microscopio elettronico a scansione hanno misurato direttamente la sfericità delle particelle vulcaniche. I ricercatori possono confrontare questi risultati con altri metodi di misurazione della sfericità come la sfericità di lavoro. Questa è la sfericità di un tetradecaedro, un poliedro con 14 facce, dai rapporti di planarità e allungamento delle particelle vulcaniche.

Altri metodi per misurare la sfericità includono l'approssimazione della circolarità della proiezione di una particella su una superficie bidimensionale. Queste diverse misurazioni possono fornire ai ricercatori metodi più accurati per studiare le proprietà fisiche di queste particelle quando vengono rilasciate dai vulcani.

Da segnalare anche le applicazioni in altri campi. I metodi computerizzati, in particolare, possono esaminare altre caratteristiche del materiale sedimentario come porosità, connettività e rotondità insieme alla sfericità per valutare le proprietà fisiche degli oggetti come il grado di osteoporosi dell'essere umano ossatura. Consente inoltre a scienziati e ingegneri di determinare l'utilità dei biomateriali per gli impianti.

Gli scienziati che studiano le nanoparticelle possono misurare le dimensioni e la sfericità dei nanocristalli di silicio per scoprire come possono essere utilizzati nei materiali optoelettronici e negli emettitori di luce a base di silicio. Questi possono essere successivamente utilizzati in varie tecnologie come il bioimaging e la somministrazione di farmaci.