Il prodotto di due quantità scalari è uno scalare e il prodotto di uno scalare con un vettore è un vettore, ma che dire del prodotto di due vettori? È uno scalare o un altro vettore? La risposta è che potrebbe essere entrambe le cose!
Ci sono due modi per moltiplicare i vettori tra loro. Uno è prendendo il loro prodotto scalare, che produce uno scalare, e l'altro è prendendo il loro prodotto incrociato, che produce un altro vettore. Quale prodotto utilizzare dipende dallo scenario particolare e dalla quantità che stai cercando di trovare.
Ilprodotto scalareè a volte indicato come ilprodotto scalareoprodotto interno. Geometricamente, puoi pensare al prodotto scalare tra due vettori come un modo per moltiplicare i valori del vettore che conta solo i contributi nella stessa direzione.
- Nota: i prodotti scalari possono essere negativi o positivi, ma quel segno non è un'indicazione di direzione. Sebbene in una dimensione, la direzione del vettore sia spesso indicata con un segno, le quantità scalari possono anche avere segni associati ad esse che non sono indicatori di direzione. Il debito è solo uno dei tanti esempi di questo.
Definizione del prodotto scalare
Il prodotto scalare di vettoriun = (aX, asì)eb = (bX, bsì)in un sistema di coordinate cartesiane standard è definito come segue:
\bold{a\cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Quando prendi il prodotto scalare di un vettore con se stesso, emerge una relazione interessante:
\bold{a\cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = |\bold{a}|^2
Dove |un| è la grandezza (lunghezza) diundal teorema di Pitagora.
Un'altra formula del prodotto scalare può essere derivata usando la legge dei coseni. Questo viene fatto come segue:
Considera vettori non nulliunebinsieme al loro vettore differenzaa - b. Disporre i tre vettori per formare un triangolo.
La legge dei coseni della trigonometria ci dice che:
|\bold{ab}|^2 = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta )
E usando la definizione del prodotto scalare otteniamo:
|\bold{ab}|^2 = (\bold{ab})\cdot (\bold{ab}) = (a_x-b_X)^2 + (a_y-b_y)^2\\ = (a_x)^2 + (b_x)^2 - 2a_xb_x + (a_y)^2 + (b_y)^2 - 2a_yb_y\\ = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2\bold{a \cdot b}
Ponendo uguali entrambe le espressioni e poi semplificando, otteniamo:
\cancel{|\bold{a}|^2} + \cancel{|\bold{b}|^2} - 2\bold{a \cdot b} = \cancel{|\bold{a}|^2 } + \cancel{|\bold{b}|^2} - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\text{ }\\\implies \boxed{\bold{a \cdot b} = |\bold{a} ||\bold{b}|\cos(\theta)}
Questa formulazione permette alla nostra intuizione geometrica di entrare in gioco. La quantità |un|cos (θ) è il modulo della proiezione del vettoreunsul vettoreb.
Quindi possiamo pensare al prodotto scalare come alla proiezione di un vettore sull'altro, e quindi al prodotto dei loro valori. In altre parole, può essere visto come il prodotto di un vettore con la quantità dell'altro vettore nella stessa direzione di se stesso.
Proprietà del prodotto scalare
Di seguito sono riportate diverse proprietà del prodotto scalare che potresti trovare utili:
\#\testo{1. Se } \theta = 0\text{, allora } \bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|
Questo perché cos (0) = 1.
\#\testo{2. Se } \theta = 180\text{, allora }\bold{a \cdot b} = -|\bold{a}||\bold{b}|
Questo perché cos (180) = -1.
\#\testo{3. Se } \theta = 90\text{, allora } \bold{a \cdot b} = 0
Questo perché cos (90) = 0.
- Nota: per 0 <
θ
< 90, il prodotto scalare sarà positivo e per 90 <
θ
< 180, il prodotto scalare sarà negativo.
\#\testo{4. } \bold{a\cdot b} = \bold{b\cdot a}
Ciò deriva dall'applicazione della legge commutativa alla definizione del prodotto scalare.
\#\testo{5. } \bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
Prova:
\bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a}\cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ =a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y)\\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y)\\ = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
\#\testo{6. } c(\bold{a\cdot b}) = (c\bold{a})\cdot \bold{b}
Prova:
c(\bold{a\cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y)\\ = ca_xb_x + ca_yb_y\\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y\\ = (c\bold{a})\cdot \ grassetto {b}
Come trovare il prodotto scalare
Esempio 1:In fisica, lavoro svolto da una forzaFsu un oggetto mentre subisce lo spostamentod, è definito come:
W=\bold{F}\cdot \bold{d} = |\bold{F}||\bold{d}|\cos(\theta)
Dove è l'angolo tra il vettore forza e il vettore spostamento.
La quantità di lavoro svolto da una forza è un'indicazione di quanto quella forza ha contribuito allo spostamento. Se la forza è nella stessa direzione dello spostamento (cos (θ) = 0), dà il suo contributo massimo. Se è perpendicolare allo spostamento (cos(Ѳ) = 90), non fornisce alcun contributo. E se è opposto allo spostamento, (cos (θ) = 180), dà un contributo negativo.
Supponiamo che un bambino spinga un trenino su un binario applicando una forza di 5 N con un angolo di 25 gradi rispetto alla linea del binario. Quanto lavoro fa il bambino sul treno quando lo sposta di 0,5 m?
Soluzione:
F = 5 \text{ N}\\ d = 0,5\text{ m}\\ \theta = 25\degree\\
Utilizzando la definizione del prodotto scalare del lavoro e inserendo i valori otteniamo quindi:
W = Fd\cos(\theta) = 5\times0.5\times\cos (25) = \boxed{2.27\text{J}}
Da questo esempio concreto, dovrebbe essere ancora più chiaro che l'applicazione di una forza perpendicolare alla direzione dello spostamento non funziona. Se il bambino ha spinto il treno ad angolo retto rispetto al binario, il treno non si sposterà né avanti né indietro lungo il binario. È anche intuitivo che il lavoro svolto dal bambino sul treno aumenterà man mano che l'angolo diminuisce e la forza e lo spostamento sono più vicini all'allineamento.
Esempio 2:La potenza è un altro esempio di una quantità fisica che può essere calcolata utilizzando un prodotto scalare. In fisica, la potenza è uguale al lavoro diviso il tempo, ma può anche essere scritta come il prodotto scalare di forza e velocità come mostrato:
P = \frac{W}{t} = \frac{\bold{F\cdot d}}{t} = \bold{F}\cdot \frac{\bold{d}}{t} = \bold{ F\dot v}
Dovevè la velocità.
Considera l'esempio precedente del bambino che gioca con il treno. Se invece ci viene detto che la stessa forza viene applicata facendo muovere il treno a 2 m/s lungo il binario, allora possiamo usare il prodotto scalare per trovare la potenza:
P = \bold{F\cdot v} = Fv\cos(\theta) = 5\times2\times\cos (25) = 9,06\text{ Watt}
Esempio 3:Un altro esempio in cui i prodotti scalari vengono utilizzati in fisica è nel caso del flusso magnetico. Il flusso magnetico è la quantità di campo magnetico che attraversa una determinata area. Si trova come prodotto scalare del campo magneticoBcon la zonaUN. (La direzione di un vettore area ènormaleo perpendicolare alla superficie dell'area.)
\Phi=\bold{B\cdot A}
Supponiamo che un campo di 0,02 Tesla passi attraverso un'ansa di filo di raggio 10 cm, formando un angolo di 30 gradi con la normale. Qual è il flusso?
\Phi=\bold{B\cdot A} = BA\cos(\theta) = 0,02\times(\pi\times0.1^2)\times\cos (30) = 0,000544\text{Wb}
Quando questo flusso cambia, cambiando il valore del campo, cambiando l'area del loop o cambiando il angolo ruotando il circuito o la sorgente di campo, la corrente verrà indotta nel circuito, generando elettricità!
Nota ancora come l'angolo sia rilevante in modo intuitivo. Se l'angolo fosse di 90 gradi, ciò significherebbe che il campo giacerebbe lungo lo stesso piano dell'area e nessuna linea di campo passerebbe attraverso il circuito, con conseguente assenza di flusso. La quantità di flusso aumenta quindi quanto più l'angolo tra il campo e la normale si avvicina a 0. Il prodotto scalare ci permette di determinare quanto del campo è nella direzione normale alla superficie, e quindi contribuisce al flusso.
Proiezione vettoriale e prodotto scalare
Nelle sezioni precedenti, è stato detto che il prodotto scalare può essere pensato come un modo per proiettare un vettore su un altro e quindi moltiplicare le loro grandezze. Pertanto, non dovrebbe sorprendere che una formula per la proiezione vettoriale possa essere derivata dal prodotto scalare.
Per proiettare il vettoreunsul vettoreb, prendiamo il prodotto scalare diuncon unvettore unitarionella direzione dib, e quindi moltiplicare questo risultato scalare per lo stesso vettore unitario.
Un vettore unitario è un vettore di lunghezza 1 che giace in una particolare direzione. Il vettore unitario in direzione del vettorebè semplicemente vettorialebdiviso per la sua grandezza:
\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|}
Quindi questa proiezione è quindi:
\text{Proiezione di }\bold{a}\text{ su }\bold{b} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} \Big)\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|^ 2}\Grande)\grassetto{b}
Il prodotto scalare in dimensione superioreer
Proprio come i vettori esistono in una dimensione superiore, così anche il prodotto scalare. Immagina l'esempio del bambino che spinge di nuovo il treno. Supponiamo che spinga entrambi verso il basso e in un angolo rispetto al lato della pista. In un sistema di coordinate standard, i vettori di forza e spostamento dovrebbero essere rappresentati come tridimensionali.
Nelndimensioni, il prodotto scalare è definito come segue:
\bold{a\cdot b} = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n
Tutte le stesse proprietà del prodotto scalare di prima si applicano ancora e la legge dei coseni fornisce ancora una volta la relazione:
\bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)
Dove la grandezza di ciascun vettore si trova tramite il seguente, di nuovo coerente con il teorema di Pitagora:
|\bold{a}|=\sqrt{\bold{a\cdot a}}=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}
Come trovare il prodotto scalare in tre dimensioni
Esempio 1:Il prodotto scalare è particolarmente utile quando è necessario trovare l'angolo tra due vettori. Ad esempio, supponiamo di voler determinare l'angolo traun= (2, 3, 2) eb= (1, 4, 0). Anche se disegni questi due vettori nello spazio 3, può essere molto difficile avvolgere la testa attorno alla geometria. Ma la matematica è abbastanza semplice, usando il fatto che:
\bold{a \cdot b}=|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\implies \theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\ grassetto{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)
Quindi calcolando il prodotto scalare diuneb:
\bold{a\cdot b}=2\times1+3\times4+2\times0=14
E calcolando le grandezze di ciascun vettore:
|\bold{a}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}=4.12\\|\bold{b}|=\sqrt{1^2+4^ 2+0^2}=\sqrt{17}=4.12
E infine collegando tutto, otteniamo:
\theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)=\cos^{- 1}\Big(\frac{14}{4.12\times 4.12}\Big)=\boxed{34.4\degree}
Esempio 2:Una carica positiva si trova nel punto di coordinate (3, 5, 4) nello spazio tridimensionale. In quale punto lungo la linea che punta nella direzione del vettore?un= (6, 9, 5) il campo elettrico è il massimo?
Soluzione: dalla nostra conoscenza di come l'intensità del campo elettrico sia correlata alla distanza, sappiamo che il punto sulla linea più vicina alla carica positiva è la posizione in cui il campo sarà il will più forte. Dalla nostra conoscenza dei prodotti scalari, potremmo supporre che l'uso della formula di proiezione abbia senso qui. Quella formula dovrebbe darci un vettore la cui punta è esattamente nel punto che stiamo cercando.
Dobbiamo calcolare:
\text{Proiezione di }(3, 5, 4)\text{ su }\bold{a}=\Big((3,5,4)\cdot\frac{\bold{a}}{|\bold{ a}|^2}\Big)\bold{a}
Per farlo, per prima cosa, troviamo |un|2:
|\bold{a}|^2=6^2+9^2+5^2=142
Quindi il prodotto scalare:
(3,5,4)\cdot (6,9,5)=3\times6+5\times9+4\times5=83
Dividendolo per |un|2 dà 83/142 = 0,585. Quindi moltiplicando questo scalare perundà:
0,585\bold{a}=0,585 \times (6,9,5)=(3,51,5,27,2,93)
Quindi il punto lungo la linea in cui il campo è più forte è (3,51, 5,27, 2,93).
