Che si tratti di una pattinatrice sul ghiaccio che tira tra le sue braccia e gira più velocemente come fa lei o di un gatto che controlla la velocità con cui gira spin durante una caduta per assicurarsi che atterri in piedi, il concetto di momento d'inerzia è cruciale per la fisica della rotazione movimento.
Altrimenti noto come inerzia rotazionale, il momento d'inerzia è l'analogo rotazionale della massa nel seconda delle leggi del moto di Newton, che descrive la tendenza di un oggetto a resistere all'accelerazione angolare.
Il concetto potrebbe non sembrare molto interessante all'inizio, ma in combinazione con la legge della conservazione dell'angolo momento, può essere usato per descrivere molti affascinanti fenomeni fisici e prevedere il movimento in un'ampia gamma di situazioni.
Definizione del momento di inerzia
Il momento d'inerzia di un oggetto descrive la sua resistenza all'accelerazione angolare, tenendo conto della distribuzione della massa attorno al suo asse di rotazione.
In sostanza quantifica quanto sia difficile cambiare la velocità di rotazione di un oggetto, che ciò significhi iniziare la sua rotazione, fermarlo o cambiare la velocità di un oggetto già rotante.
A volte viene chiamata inerzia rotazionale, ed è utile pensarla come un analogo della massa nella seconda legge di Newton:Fnetto = ma. Qui, la massa di un oggetto è spesso chiamata massa inerziale e descrive la resistenza dell'oggetto al movimento (lineare). L'inerzia rotazionale funziona proprio così per il movimento rotatorio e la definizione matematica include sempre la massa.
L'espressione equivalente alla seconda legge per il moto rotatorio riguardacoppia (τ, l'analogo rotazionale della forza) all'accelerazione angolareαe momento d'inerziaio:
\tau =io\alfa
Lo stesso oggetto può avere più momenti di inerzia, tuttavia, perché mentre gran parte della definizione riguarda la distribuzione della massa, tiene conto anche della posizione dell'asse di rotazione.
Ad esempio, mentre il momento d'inerzia per un'asta rotante attorno al suo centro èio = ML2/12 (doveMè massa elè la lunghezza dell'asta), la stessa asta che ruota attorno ad un'estremità ha un momento d'inerzia dato daio = ML2/3.
Equazioni per il momento di inerzia
Quindi il momento d'inerzia di un corpo dipende dalla sua massaM, il suo raggioRe il suo asse di rotazione.
In alcuni casi,Rè indicato comed, per distanza dall'asse di rotazione, e in altri (come con l'asta nella sezione precedente) è sostituito da lunghezza,l. Il simboloioè usato per momento d'inerzia, e ha unità di kg m2.
Come ci si potrebbe aspettare in base a quanto appreso finora, esistono molte equazioni diverse per il momento d'inerzia e ciascuna si riferisce a una forma specifica e a uno specifico asse di rotazione. In tutti i momenti di inerzia, il termineSIG2 appare, anche se per forme diverse ci sono diverse frazioni davanti a questo termine, e in alcuni casi possono esserci più termini sommati insieme.
IlSIG2 componente è il momento d'inerzia per un punto massa a distanzaRdall'asse di rotazione, e l'equazione per un corpo rigido specifico è costruita come somma di masse puntiformi, o integrando un numero infinito di piccole masse puntiformi sull'oggetto.
Mentre in alcuni casi può essere utile ricavare il momento d'inerzia di un oggetto in base a una semplice somma aritmetica di masse puntiformi o mediante integrando, in pratica ci sono molti risultati per forme comuni e assi di rotazione che puoi semplicemente usare senza bisogno di derivarlo primo:
Cilindro pieno (asse di simmetria):
I = \frac{1}{2} MR^2
Cilindro pieno (asse del diametro centrale, o diametro della sezione circolare al centro del cilindro):
I = \frac{1}{4} MR^2+\frac{1}{12} ML^2
Sfera solida (asse centrale):
I = \frac{2}{5} MR^2
Guscio sferico sottile (asse centrale):
I = \frac{2}{3} MR^2
Cerchio (asse di simmetria, cioè perpendicolarmente al centro):
I = MR^2
Cerchio (asse del diametro, cioè attraverso il diametro del cerchio formato dal cerchio):
I = \frac{1}{2} MR^2
Asta (asse centrale, perpendicolare alla lunghezza dell'asta):
I = \frac{1}{12} ML^2
Asta (che ruota intorno all'estremità):
I = \frac{1}{3} ML^2
Inerzia rotazionale e asse di rotazione
Capire perché ci sono equazioni diverse per ogni asse di rotazione è un passo fondamentale per cogliere il concetto di momento d'inerzia.
Pensa a una matita: puoi ruotarla ruotandola al centro, all'estremità o ruotandola attorno al suo asse centrale. Poiché l'inerzia rotazionale di un oggetto dipende dalla distribuzione della massa attorno all'asse di rotazione, ciascuna di queste situazioni è diversa e richiede un'equazione separata per descriverla.
Puoi ottenere una comprensione istintiva del concetto di momento d'inerzia se ridimensioni questo stesso argomento fino a un palo di bandiera di 30 piedi.
Farla girare da un capo all'altro sarebbe molto difficile, ammesso che ci riuscissi, mentre far roteare il palo attorno al suo asse centrale sarebbe molto più facile. Questo perché la coppia dipende fortemente dalla distanza dall'asse di rotazione e nei 30 piedi esempio di asta della bandiera, farla girare da un capo all'altro coinvolge ogni estremità a 15 piedi di distanza dall'asse di rotazione.
Tuttavia, se lo fai roteare attorno all'asse centrale, tutto è abbastanza vicino all'asse. La situazione è molto simile al trasporto di un oggetto pesante a distanza di un braccio contro il trasporto di un oggetto pesante. tenendolo vicino al corpo o azionando una leva dall'estremità vs. vicino al fulcro.
Questo è il motivo per cui è necessaria un'equazione diversa per descrivere il momento d'inerzia per lo stesso oggetto a seconda dell'asse di rotazione. L'asse scelto influisce sulla distanza delle parti del corpo dall'asse di rotazione, anche se la massa del corpo rimane la stessa.
Utilizzo delle equazioni per il momento di inerzia
La chiave per calcolare il momento d'inerzia di un corpo rigido è imparare a usare e applicare le equazioni appropriate.
Considera la matita della sezione precedente, che viene filata da un capo all'altro attorno a un punto centrale lungo la sua lunghezza. Anche se non è unPerfettoasta (la punta appuntita rompe questa forma, per esempio) può essere modellata come tale per evitare di dover passare attraverso un momento completo di derivazione d'inerzia per l'oggetto.
Quindi modellando l'oggetto come un'asta, useresti la seguente equazione per trovare il momento d'inerzia, combinato con la massa totale e la lunghezza della matita:
I = \frac{1}{12} ML^2
Una sfida più grande è trovare il momento d'inerzia per gli oggetti compositi.
Si consideri, ad esempio, due sfere collegate tra loro da un'asta (che tratteremo come prive di massa per semplificare il problema). La palla uno è di 2 kg ed è posizionata a 2 m di distanza dall'asse di rotazione, e la palla due ha una massa di 5 kg e dista 3 m dall'asse di rotazione.
In questo caso, puoi trovare il momento d'inerzia per questo oggetto composto considerando ogni palla come una massa puntiforme e lavorando dalla definizione di base che:
\begin{allineato} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2 + m_3r_3^2….\\ &= \sum_{\mathclap{i}}m_ir_i^2 \end{allineato}
Con i pedici semplicemente differenziando tra oggetti diversi (cioè, palla 1 e palla 2). L'oggetto a due sfere avrebbe quindi:
\begin{allineato} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2\\ &= 2 \;\text{kg} × (2 \;\text{m})^2 + 5 \;\text{kg} × (3 \;\text{m})^2 \\ &= 8 \;\text{kg m}^2 + 45 \;\text{kg m}^2 \\ &= 53 \;\text{kg m}^2 \end{allineato}
Momento d'inerzia e conservazione del momento angolare
Il momento angolare (l'analogo rotazionale del momento lineare) è definito come il prodotto dell'inerzia rotazionale (cioè il momento d'inerzia,io) dell'oggetto e la sua velocità angolareω), misurato in gradi/s o rad/s.
Avrai sicuramente familiarità con la legge di conservazione del momento lineare e anche il momento angolare si conserva allo stesso modo. L'equazione del momento angolarel) è:
L = Iω
Pensare a cosa questo significhi in pratica spiega molti fenomeni fisici, perché (in assenza di altre forze), maggiore è l'inerzia rotazionale di un oggetto, minore è la sua velocità angolare.
Considera un pattinatore sul ghiaccio che gira a una velocità angolare costante con le braccia tese e nota che le sue braccia tese aumentano il raggioRattorno al quale si distribuisce la sua massa, determinando un momento di inerzia maggiore che se le sue braccia fossero vicine al suo corpo.
Sel1 è calcolato con le braccia tese, el2, dopo aver ritirato le braccia in dentro deve avere lo stesso valore (perché si conserva il momento angolare), cosa succede se abbassando il momento d'inerzia tirando le braccia? La sua velocità angolareωaumenta per compensare.
I gatti eseguono movimenti simili per aiutarli ad atterrare in piedi quando cadono.
Allungando le zampe e la coda, aumentano il momento d'inerzia e riducono la velocità di rotazione, e viceversa possono tirare le gambe per diminuire il momento d'inerzia e aumentare la velocità di rotazione. Usano queste due strategie - insieme ad altri aspetti del loro "riflesso di raddrizzamento" - per assicurarsi che i loro piedi atterrino prima, e puoi vedere fasi distinte di raggomitolarsi e allungarsi nelle fotografie time-lapse di un gatto atterraggio.
Momento d'inerzia ed energia cinetica rotazionale
Continuando i paralleli tra movimento lineare e movimento rotatorio, anche gli oggetti hanno energia cinetica rotazionale nello stesso modo in cui hanno energia cinetica lineare.
Pensa a una palla che rotola sul terreno, ruotando attorno al suo asse centrale e avanzando in modo lineare: l'energia cinetica totale della palla è la somma della sua energia cinetica lineareEK e la sua energia cinetica di rotazioneEmarcire. I paralleli tra queste due energie si riflettono nelle equazioni di entrambe, ricordando che l'. di un oggetto momento d'inerzia è l'analogo rotazionale della massa e la sua velocità angolare è l'analogo rotazionale di lineare velocitàv):
E_k = \frac{1}{2}mv^2
E_{rot} = \frac{1}{2}Iω^2
Puoi vedere chiaramente che entrambe le equazioni hanno esattamente la stessa forma, con gli appropriati analoghi rotazionali sostituiti all'equazione dell'energia cinetica rotazionale.
Ovviamente, per calcolare l'energia cinetica rotazionale, dovrai sostituire l'espressione appropriata per il momento d'inerzia dell'oggetto nello spazio perio. Considerando la palla e modellando l'oggetto come una sfera solida, l'equazione in questo caso è:
\begin{aligned} E_{rot} &= \bigg(\frac{2}{5} MR^2\bigg) \frac{1}{2} ω^2 \\ &= \frac{1}{5 }MR^2 ω^2 \end{allineato}
L'energia cinetica totale (Etot) è la somma di questo e dell'energia cinetica della palla, quindi puoi scrivere:
\begin{aligned} E_{tot} &= E_k + E_{rot} \\ &= \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}MR^2 ω^2 \end{ allineato}
Per una palla di 1 kg che si muove a una velocità lineare di 2 m/s, con un raggio di 0,3 m e con una velocità angolare di 2π rad/s, l'energia totale sarebbe:
\begin{aligned} E_{tot} &= \frac{1}{2} 1 \;\text{kg} × (2 \;\text{m/s})^2 + \frac{1}{5 }(1 \;\text{kg} × (0.3 \;\text{m})^2 × (2π \;\text{rad/s})^2) \\ &= 2 \;\text{J} + 0,71 \;\text{J} \\ & = 2,71 \;\testo{J} \end{allineato}
A seconda della situazione, un oggetto potrebbe possedere solo energia cinetica lineare (ad esempio, una palla caduta da un'altezza senza spin impartita su di essa) o solo energia cinetica rotazionale (una palla che gira ma rimane in posizione).
Ricorda che lo ètotaleenergia che si conserva. Se un pallone viene calciato contro un muro senza rotazione iniziale e rimbalza indietro a una velocità inferiore ma con una rotazione impartita, così come l'energia persa al suono e al calore quando è entrato in contatto, parte dell'energia cinetica iniziale è stata trasferita all'energia cinetica di rotazione, e quindinon possopossibilmente muoversi velocemente come ha fatto prima di rimbalzare.