Supponiamo di avere n tipi di elementi e di voler selezionare una raccolta di r di essi. Potremmo volere questi elementi in un ordine particolare. Chiamiamo questi insiemi di elementi permutazioni. Se l'ordine non è importante, chiamiamo l'insieme delle combinazioni di collezioni. Sia per le combinazioni che per le permutazioni, puoi considerare il caso in cui scegli alcuni degli n tipi più di types una volta, che si chiama 'con ripetizione', o il caso in cui si sceglie ogni tipo una sola volta, che si chiama 'no ripetizione'. L'obiettivo è essere in grado di contare il numero di combinazioni o permutazioni possibili in una data situazione.
Ordinazioni e fattoriali
La funzione fattoriale viene spesso utilizzata nel calcolo di combinazioni e permutazioni. N! significa N×(N–1)×...×2×1. Ad esempio, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Il numero di modi per ordinare un insieme di articoli è un fattoriale. Prendi le tre lettere a, b e c. Hai tre scelte per la prima lettera, due per la seconda e solo una per la terza. In altre parole, un totale di 3×2×1 = 6 ordinamenti. In generale, ci sono n! modi per ordinare n articoli.
Permutazioni con ripetizione
Supponiamo di avere tre stanze da dipingere e ognuna verrà dipinta con uno dei cinque colori: rosso (r), verde (g), blu (b), giallo (y) o arancione (o). Puoi scegliere ogni colore tutte le volte che vuoi. Hai cinque colori tra cui scegliere per la prima stanza, cinque per la seconda e cinque per la terza. Questo dà un totale di 5×5×5 = 125 possibilità. In generale, il numero di modi per selezionare un gruppo di r elementi in un ordine particolare da n scelte ripetibili è n^r.
Permutazioni senza ripetizione
Supponiamo ora che ogni stanza sia di un colore diverso. Puoi scegliere tra cinque colori per la prima stanza, quattro per la seconda e solo tre per la terza. Questo dà 5×4×3 = 60, che si dà il caso che sia 5!/2!. In generale, il numero di modi indipendenti per selezionare r elementi in un particolare ordine da n scelte non ripetibili è n!/(n–r)!.
Combinazioni senza ripetizione
Quindi, dimentica quale stanza è quale colore. Basta scegliere tre colori indipendenti per la combinazione di colori. L'ordine non ha importanza qui, quindi (rosso, verde, blu) è lo stesso di (rosso, blu, verde). Per ogni scelta di tre colori ce ne sono 3! modi in cui puoi ordinarli. Quindi riduci il numero di permutazioni di 3! per ottenere 5!/(2!×3!) = 10. In generale, puoi scegliere un gruppo di r elementi in qualsiasi ordine da una selezione di n scelte non ripetibili in n!/[(n–r)!×r!] modi.
Combinazioni con la ripetizione
Infine, devi creare una combinazione di colori in cui puoi usare qualsiasi colore tutte le volte che vuoi. Un codice di contabilità intelligente aiuta questo compito di conteggio. Usa tre X per rappresentare le stanze. La tua lista di colori è rappresentata da 'rgbyo'. Mescola le X nella tua lista di colori e associa ciascuna X al primo colore a sinistra di essa. Ad esempio, rgXXbyXo significa che la prima stanza è verde, la seconda è verde e la terza è gialla. Una X deve avere almeno un colore a sinistra, quindi ci sono cinque slot disponibili per la prima X. Poiché l'elenco ora include una X, ci sono sei slot disponibili per la seconda X e sette slot disponibili per la terza X. In tutto, ci sono 5×6×7 = 7!/4! modi per scrivere il codice. Tuttavia, l'ordine delle stanze è arbitrario, quindi ci sono davvero solo 7!/(4!×3!) arrangiamenti unici. In generale, puoi scegliere r elementi in qualsiasi ordine da n scelte ripetibili in (n+r–1)!/[(n–1)!×r!] modi.