L'integrazione di funzioni è una delle applicazioni principali del calcolo. A volte, questo è semplice, come in:
F(x) = \int( x^3 + 8) dx
In un esempio relativamente complicato di questo tipo, puoi utilizzare una versione della formula di base per l'integrazione di integrali indefiniti:
\int (x^n + A) dx = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1} + Ax + C
doveUNeCsono costanti.
Quindi per questo esempio,
\int x^3 + 8 = \frac{x^4}{4} + 8x + C
Integrazione delle funzioni base della radice quadrata
In superficie, l'integrazione di una funzione radice quadrata è scomoda. Ad esempio, potresti essere ostacolato da:
F(x) = \int \sqrt{(x^3) + 2x - 7}dx
Ma puoi esprimere una radice quadrata come esponente, 1/2:
\sqrt{x^3} = x^{3(1/2)} = x^{(3/2)}
L'integrale diventa quindi:
\int (x^{3/2} + 2x - 7)dx
a cui puoi applicare la solita formula dall'alto:
\begin{allineato} \int (x^{3/2} + 2x - 7)dx &= \frac{x^{(5/2)}}{5/2} + 2\bigg(\frac{x ^2}{2}\bigg) - 7x \\ &= \frac{2}{5}x^{(5/2)} + x^2 - 7x \end{allineato}
Integrazione di funzioni di radice quadrata più complesse
A volte, potresti avere più di un termine sotto il segno radicale, come in questo esempio:
F(x) = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x - 3}}dx
Puoi usaretu-sostituzione per procedere. Ecco, a postotuuguale alla quantità al denominatore:
u = \sqrt{x - 3}
Risolvi questo perXelevando al quadrato entrambi i lati e sottraendo:
u^2 = x - 3 \\ x = u^2 + 3
Questo ti permette di ottenere dx in termini dituprendendo la derivata diX:
dx = (2u) du
Sostituendo di nuovo nell'integrale originale dà
\begin{allineato} F(x) &= \int \frac{u^2 + 3 + 1}{u}(2u) du \\ &= \int \frac{2u^3 + 6u + 2u}{u }du \\ &= \int (2u^2 + 8)du \end{allineato}
Ora puoi integrarlo usando la formula di base ed esprimendotuin termini diX:
\begin{allineato} \int (2u^2 + 8)du &= \frac{2}{3}u^3 + 8u + C \\ &= \frac{2}{3} (\sqrt{x - 3})^3 + 8( \sqrt{x - 3}) + C \\ &= \frac{2}{3} (x - 3)^{(3/2)} + 8(x - 3) ^{(1/2)} + C \end{allineato}