Potresti incontrare situazioni in cui hai una forma solida tridimensionale e hai bisogno di capire il area di un piano immaginario inserito attraverso la forma e avente bordi definiti dai confini del solido.
Ad esempio, se hai un tubo cilindrico che passa sotto casa e misura 20 metri (m) di lunghezza e 0,15 m di diametro, potresti voler conoscere il area della sezione trasversale del tubo.
Le sezioni trasversali possono essere perpendicolari all'orientamento degli assi del solido, se presenti. Nel caso di una sfera, qualsiasi piano di taglio attraverso la sfera, indipendentemente dall'orientamento, risulterà in un disco di una certa dimensione.
L'area della sezione trasversale dipende dalla forma del solido che determina le sezioni trasversali confini e l'angolo tra l'asse di simmetria del solido (se presente) e il piano che crea il sezione trasversale.
Area della sezione trasversale di un solido rettangolare
Il volume di qualsiasi solido rettangolare, compreso un cubo, è l'area della sua base (lunghezza per larghezza) moltiplicata per la sua altezza: V = l × p × h.
Pertanto, se una sezione trasversale è parallela alla parte superiore o inferiore del solido, l'area della sezione trasversale è l × w. Se il piano di taglio è parallelo ad uno dei due insiemi dei lati, l'area della sezione trasversale è invece data da l × h o w × h.
Se la sezione trasversale non è perpendicolare ad alcun asse di simmetria, la forma creata può essere un triangolo (se posto attraverso un angolo del solido) o anche un esagono.
Esempio: Calcola l'area della sezione trasversale di un piano perpendicolare alla base di un cubo con un volume di 27 m3.
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Poiché l = w = h per un cubo, ogni lato del cubo deve essere lungo 3 m (poiché 3
× 3
× 3 = 27). Una sezione del tipo descritto sarebbe quindi un quadrato di 3 m di lato, con un'area di 9 m2.
Area della sezione trasversale di un cilindro
Un cilindro è un solido creato estendendo un cerchio attraverso lo spazio perpendicolare al suo diametro. L'area di un cerchio è data dalla formula r2, dove r è il raggio. Ha quindi senso che il volume di un cilindro sia l'area di uno dei cerchi che formano la sua base.
Se la sezione trasversale è parallela all'asse di simmetria, allora l'area della sezione trasversale è semplicemente un cerchio con un'area di πr2. Se il piano di taglio viene inserito con un angolo diverso, la forma generata è un'ellisse. L'area utilizza la formula corrispondente: πab (dove a è la distanza più lunga dal centro dell'ellisse al bordo e b è la più breve).
Esempio: Qual è l'area della sezione trasversale del tubo sotto casa tua descritta nell'introduzione?
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Questo è solo r2 = (0,15 m)2=
(0,0225) m2 = 0,071 m2. Si noti che la lunghezza del tubo è irrilevante per questo calcolo.
Area della sezione trasversale di una sfera
Qualsiasi piano teorico posizionato attraverso una sfera risulterà in un cerchio (pensaci per alcuni istanti). Se conosci il diametro o la circonferenza del cerchio formato dalla sezione trasversale, puoi usare le relazioni C = 2πr e A = πr2 per ottenere una soluzione.
Esempio: Un aereo viene bruscamente inserito attraverso la Terra molto vicino al Polo Nord, rimuovendo una sezione del pianeta di circa 10 m. Qual è l'area della sezione trasversale di questa fredda fetta di Terra?
- Poiché C = 2πr = 10 m, r = 10/2π = 1,59 m; A = πr2= π(1.59)2= 7,96 m2.