La legge dei seni è una formula che confronta la relazione tra gli angoli di un triangolo e le lunghezze dei suoi lati. Se conosci almeno due lati e un angolo, o due angoli e un lato, puoi usare la legge dei seni per trovare le altre informazioni mancanti sul tuo triangolo. Tuttavia, in una serie molto limitata di circostanze, puoi ottenere due risposte alla misura di un angolo. Questo è noto come il caso ambiguo della legge dei seni.
Quando il caso ambiguo può accadere
Il caso ambiguo della legge dei seni può verificarsi solo se la parte "informazione nota" del tuo triangolo è composta da due lati e un angolo, dove l'angolo ènontra i due lati noti. Questo è talvolta abbreviato come SSA o triangolo lato lato-angolo. Se l'angolo fosse tra i due lati noti, sarebbe abbreviato come SAS o triangolo lato-angolo-lato e il caso ambiguo non si applicherebbe.
Un riassunto della legge dei seni
La legge dei seni può essere scritta in due modi. Il primo modulo è conveniente per trovare le misure dei lati mancanti:
\frac{a}{\sin (A)}= \frac{b}{\sin (B)} = \frac{c}{\sin (C)}
La seconda forma è conveniente per trovare le misure degli angoli mancanti:
\frac{\sin (A)}{a}= \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}
Nota che entrambe le forme sono equivalenti. L'utilizzo di un modulo o dell'altro non cambierà il risultato dei tuoi calcoli. Li rende semplicemente più facili da lavorare a seconda della soluzione che stai cercando.
Che aspetto ha il caso ambiguo
Nella maggior parte dei casi, l'unico indizio che potresti avere un caso ambiguo tra le mani è la presenza di un triangolo SSA in cui ti viene chiesto di trovare uno degli angoli mancanti. Immagina di avere un triangolo con un angoloUN= 35 gradi, latoun= 25 unità e latob= 38 unità, e ti è stato chiesto di trovare la misura dell'angoloB. Una volta trovato l'angolo mancante, è necessario verificare se si applica il caso ambiguo.
Inserisci le tue informazioni conosciute nella legge dei seni. Usando il secondo modulo, questo ti dà:
\frac{\sin (35)}{25}= \frac{\sin (B)}{38} = \frac{\sin (C)}{c}
Ignorare il peccato (C)/c; è irrilevante ai fini di questo calcolo. Quindi, davvero, hai:
\frac{\sin (35)}{25}= \frac{\sin (B)}{38}
Risolvere perB. Un'opzione è la moltiplicazione incrociata; questo ti dà:
25 × \peccato (B) = 38 ×\ peccato (35)
Quindi, semplifica utilizzando una calcolatrice o un grafico per trovare il valore di sin (35). È circa 0,57358, che ti dà:
25 × \peccato (B) = 38 × 0,57358
che si semplifica in:
25 × \peccato (B) = 21,79604
Quindi, dividi entrambi i membri per 25 per isolare sin(B), dandoti:
\sin (B) = 0.8718416
Per finire di risolvere perB, prendi l'arcoseno o il seno inverso di 0,8718416. Oppure, in altre parole, usa la calcolatrice o il grafico per trovare il valore approssimativo di un angolo B che ha il seno 0.8718416. Quell'angolo è di circa 61 gradi.
Controlla il caso ambiguo
Ora che hai una soluzione iniziale, è il momento di verificare il caso ambiguo. Questo caso si presenta perché per ogni angolo acuto esiste un angolo ottuso con lo stesso seno. Quindi, mentre ~ 61 gradi è l'angolo acuto che ha seno 0.8718416, devi anche considerare l'angolo ottuso come una possibile soluzione. Questo è un po 'complicato perché la tua calcolatrice e il tuo grafico dei valori del seno molto probabilmente non ti diranno dell'angolo ottuso, quindi devi ricordarti di controllarlo.
Trova l'angolo ottuso con lo stesso seno sottraendo l'angolo che hai trovato – 61 gradi – da 180. Quindi hai 180 - 61 = 119. Quindi 119 gradi è l'angolo ottuso che ha lo stesso seno di 61 gradi. (Puoi verificarlo con una calcolatrice o un grafico sinusoidale.)
Ma quell'angolo ottuso formerà un triangolo valido con le altre informazioni che hai? Puoi facilmente verificare aggiungendo quel nuovo angolo ottuso all'"angolo noto" che ti è stato dato nel problema originale. Se il totale è inferiore a 180 gradi, l'angolo ottuso rappresenta una soluzione valida, e dovrai continuare ogni ulteriore calcolo contutti e duetriangoli validi in considerazione. Se il totale è maggiore di 180 gradi, l'angolo ottuso non rappresenta una soluzione valida.
In questo caso l'"angolo noto" era di 35 gradi e l'angolo ottuso appena scoperto era di 119 gradi. Quindi hai:
119 + 35 = 154 \text{ gradi}
Poiché 154 gradi < 180 gradi, si applica il caso ambiguo e si hanno due soluzioni valide: l'angolo in questione può misurare 61 gradi o può misurare 119 gradi.