Una funzione periodica è una funzione che ripete i suoi valori a intervalli regolari o "periodi". Pensa a è come un battito cardiaco o il ritmo sottostante in una canzone: ripete la stessa attività a un ritmo costante. Il grafico di una funzione periodica sembra che un singolo modello venga ripetuto più e più volte.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Una funzione periodica ripete i suoi valori a intervalli regolari o "periodi".
Tipi di funzioni periodiche
Le funzioni periodiche più famose sono le funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante, ecc. Altri esempi di funzioni periodiche in natura includono onde luminose, onde sonore e fasi lunari. Ognuno di questi, quando viene rappresentato graficamente sul piano delle coordinate, crea uno schema ripetitivo sullo stesso intervallo, rendendolo facile da prevedere.
Il periodo di una funzione periodica è l'intervallo tra due punti "corrispondenti" sul grafico. In altre parole, è la distanza lungo ilX-asse che la funzione deve percorrere prima di iniziare a ripetere il suo schema. Le funzioni seno e coseno di base hanno un periodo di 2π, mentre la tangente ha un periodo di .
Un altro modo per comprendere il periodo e la ripetizione per le funzioni trigonometriche è pensarle in termini di cerchio unitario. Sul cerchio unitario, i valori girano intorno al cerchio quando aumentano di dimensione. Quel movimento ripetitivo è la stessa idea che si riflette nello schema costante di una funzione periodica. E per seno e coseno, devi fare un percorso completo attorno al cerchio (2π) prima che i valori inizino a ripetersi.
Equazione per una funzione periodica
Una funzione periodica può anche essere definita come un'equazione con questa forma:
f (x + nP) = f (x)
DovePè il periodo (una costante diversa da zero) enè un numero intero positivo.
Ad esempio, puoi scrivere la funzione seno in questo modo:
\sin (x + 2π) = \sin (x)
n= 1 in questo caso, e il periodo,P, per una funzione seno è 2π.
Provalo provando un paio di valori perXo guarda il grafico: scegline unoX-value, quindi spostati di 2π in entrambe le direzioni lungo ilX-asse; ilsì-value dovrebbe rimanere lo stesso.
Ora prova quandon = 2:
\sin (x + (2×2π)) = \sin (x) \\ \sin (x + 4π) = \sin (x)
Calcola per diversi valori diX: X = 0, X = π, X= π/2, o controllalo sul grafico.
La funzione cotangente segue le stesse regole, ma il suo periodo è π radianti invece di 2π radianti, quindi il suo grafico e la sua equazione hanno questo aspetto:
\cot (x + nπ) = \cot (x)
Nota che le funzioni tangente e cotangente sono periodiche, ma non sono continue: ci sono "interruzioni" nei loro grafici.