Cosa succede quando elevi un numero a una frazione?

Quando "alza un numero a una potenza", stai moltiplicando il numero per se stesso e la "potenza" rappresenta quante volte lo fai. Quindi 2 elevato alla 3a potenza è uguale a 2 x 2 x 2, che è uguale a 8. Quando elevi un numero a una frazione, tuttavia, stai andando nella direzione opposta: stai cercando di trovare la "radice" del numero.

Il termine matematico per elevare un numero a potenza è "esponente". Un'espressione esponenziale ha due parti: la base, che è il numero che stai aumentando e l'esponente, che è la "potenza". Quindi quando elevi 2 alla 3a potenza, la base è 2 e l'esponente è 3. Elevare la base alla 2a potenza è comunemente chiamato quadratura della base, mentre elevarla alla 3a potenza è comunemente chiamato cubatura della base. I matematici di solito scrivono espressioni esponenziali con l'esponente in apice, cioè come un piccolo numero in alto a destra della base. Poiché alcuni computer, calcolatrici e altri dispositivi non gestiscono molto bene l'apice, anche le espressioni esponenziali vengono comunemente scritte in questo modo: 2^3. Il caret - il simbolo che punta verso l'alto - ti dice che quello che segue è l'esponente.

In matematica, le "radici" sono un po' come gli esponenti al contrario. Ad esempio, prendi "2 alla 4a potenza", abbreviato come 2^4. È uguale a 2 x 2 x 2 x 2 o 16. Poiché 2 moltiplicato per se stesso quattro volte è uguale a 16, la "quarta radice" di 16 è 2. Ora guarda il numero 729. Questo si riduce a 9 x 9 x 9, quindi 9 è la terza radice di 729. Si scompone anche in 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3, quindi 3 è la sesta radice di 729. La seconda radice di un numero è comunemente chiamata radice quadrata, e la terza radice è la radice cubica.

Quando l'esponente è una frazione, stai cercando una radice della base. La radice corrisponde al denominatore della frazione. Ad esempio, prendi "125 elevato alla potenza 1/3" o 125^1/3. Il denominatore della frazione è 3, quindi stai cercando la terza radice (o radice cubica) di 125. Poiché 5 x 5 x 5 = 125, la terza radice di 125 è 5. Quindi, 125^1/3 = 5. Ora prova 256^1/4. Stai cercando la quarta radice di 256. Poiché 4 x 4 x 4 x 4 = 256, la risposta è 4.

Il esponenti frazionari discussi fino a questo punto - 1/3 e 1/4 - hanno avuto ciascuno un numeratore di 1. Se il numeratore è qualcosa di diverso da 1, l'esponente ti sta effettivamente istruendo a eseguire due operazioni: trovare una radice ed elevare a potenza. Ad esempio, prendi 8^2/3. Il denominatore "3" ti dice che stai cercando una radice cubica; il numeratore "2" ti dice che eleverai alla 2a potenza. Non importa quale operazione esegui per prima. Otterrai lo stesso risultato in entrambi i casi. Quindi potresti iniziare prendendo la terza radice di 8, che è 2, e poi elevandola alla seconda potenza, che ti darebbe 4. Oppure potresti iniziare elevando 8 alla seconda potenza, che è uguale a 64, e poi prendendo la terza radice di quel numero, che è 4. Stesso risultato.

In effetti, la regola "numeratore come potenza, denominatore come radice" si applica a tutti gli esponenti, anche agli esponenti interi e frazionari con numeratore 1. Ad esempio, il numero intero 2 è l'equivalente della frazione 2/1. Quindi l'espressione esponenziale 9^2 è "veramente" 9^2/1. Elevare 9 alla 2a potenza ti dà 81. Ora devi ottenere la "prima radice" di 81. Ma la prima radice di qualsiasi numero è il numero stesso, quindi la risposta rimane 81. Ora guarda l'espressione 9^1/2. Potresti iniziare elevando 9 alla "1a potenza". Ma qualsiasi numero elevato alla prima potenza è il numero stesso. Quindi tutto ciò che devi fare è ottenere la radice quadrata di 9, che è 3. La regola si applica ancora, ma in queste situazioni puoi saltare un passaggio.