Proprio come in algebra, quando inizi a imparare la trigonometria, accumulerai serie di formule utili per la risoluzione dei problemi. Uno di questi set sono le identità a semiangolo, che puoi usare per due scopi. Uno è convertire le funzioni trigonometriche di (θ/2) in funzioni nei termini più familiari (e più facilmente manipolabili)θ. L'altro è trovare il valore effettivo delle funzioni trigonometriche diθ, quandoθpuò essere espresso come metà di un angolo più familiare.
Rivedere le identità di semiangolo
Molti libri di testo di matematica elencheranno quattro identità primarie a mezzo angolo. Ma applicando un mix di algebra e trigonometria, queste equazioni possono essere trasformate in una serie di forme utili. Non devi necessariamente memorizzare tutti questi elementi (a meno che il tuo insegnante non insista), ma dovresti almeno capire come usarli:
Identità a semiangolo per seno
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
Identità a semiangolo per il coseno
\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}
Identità di mezzo angolo per la tangente
\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 + \cosθ} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 - \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \tan\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ - \cot
Identità a mezzo angolo per cotangente
\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 - \cosθ}} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{ θ}{2}\bigg) = \frac{\sinθ}{1 - \cosθ} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 + \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \cot\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ + \cot
Un esempio di utilizzo di identità a mezzo angolo
Quindi come si usano le identità a metà angolo? Il primo passo è riconoscere che hai a che fare con un angolo che è la metà di un angolo più familiare.
- Quadrante I: tutte le funzioni trigonometriche
- Quadrante II: solo seno e cosecante
- Quadrante III: solo tangente e cotangente
- Quadrante IV: solo coseno e secante
immagina che ti venga chiesto di trovare il seno dell'angolo di 15 gradi. Questo non è uno degli angoli per cui la maggior parte degli studenti memorizzerà i valori delle funzioni trigonometriche. Ma se lasci che 15 gradi siano uguali a θ/2 e poi risolvi per, troverai che:
\frac{θ}{2} = 15 \\ = 30
Poiché il risultante, 30 gradi, è un angolo più familiare, qui sarà utile utilizzare la formula del semiangolo.
Poiché ti è stato chiesto di trovare il seno, c'è davvero solo una formula di semiangolo tra cui scegliere:
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
Sostituendo inθ/2 = 15 gradi eθ= 30 gradi ti dà:
\sin (15) = ±\sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Se ti fosse stato chiesto di trovare la tangente o la cotangente, che moltiplicano per metà i modi di esprimere la loro identità a metà angolo, sceglieresti semplicemente la versione che sembrava più facile da lavorare.
Il segno ± all'inizio di alcune identità a semiangolo significa che la radice in questione potrebbe essere positiva o negativa. Puoi risolvere questa ambiguità usando la tua conoscenza delle funzioni trigonometriche nei quadranti. Ecco un breve riassunto di quali funzioni trigonometriche ritornanopositivovalori in cui quadranti:
Poiché in questo caso il tuo angolo rappresenta 30 gradi, che cade nel quadrante I, sai che il valore del seno che restituisce sarà positivo. Quindi puoi eliminare il segno ± e valutare semplicemente:
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Sostituisci nel noto valore di cos (30). In questo caso, usa i valori esatti (al contrario delle approssimazioni decimali da un grafico):
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{3/2}}{2}}
Quindi, semplifica il lato destro dell'equazione per trovare un valore per sin (15). Inizia moltiplicando l'espressione sotto il radicale per 2/2, che ti dà:
\sin (15) = \sqrt{\frac{2(1 - \sqrt{3/2})}{4}}
Questo semplifica:
\sin (15) = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}
Puoi quindi scomporre la radice quadrata di 4:
\sin (15) = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}
Nella maggior parte dei casi, questo è quanto semplificheresti. Anche se il risultato potrebbe non essere molto bello, hai tradotto il seno di un angolo sconosciuto in una quantità esatta.