Cosa hanno in comune le frazioni 1/2, 2/4, 3/6, 150/300 e 248/496? Sono tutti equivalenti, perché se li riduci tutti alla loro forma più semplice, sono tutti uguali: 1/2. In questo esempio, devi semplicemente scomporre i maggiori fattori comuni sia dal numeratore che dal denominatore finché non arrivi a 1/2. Ma ci sono altri modi in cui una frazione può complicarsi. Non importa cosa impedisce alla tua frazione di esistere nella sua forma più semplice, la soluzione è ricordare che puoi eseguire quasi tutte le operazioni su una frazione, purché si faccia la stessa cosa sia al numeratore che al denominatore.
Rimozione dei fattori comuni
Il motivo più comune per cui ti viene chiesto di scrivere una frazione nella sua forma più semplice è se sia il numeratore che il denominatore condividono fattori comuni.
Scrivi i fattori per il numeratore della tua frazione, quindi scrivi i fattori per il denominatore. Ad esempio, se la tua frazione è 14/20, i fattori per numeratore e denominatore sono:
14: 1, 2, 7, 14
20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Identificare eventuali fattori comuni maggiori di 1. In questo esempio, il fattore più grande che entrambi i numeri hanno in comune è 2.
Dividi sia il numeratore che il denominatore della frazione per il massimo comun divisore. Per continuare l'esempio,:
14 ÷ 2 = 7
e
20 ÷ 2 = 10
quindi la tua nuova frazione diventa:
\frac{7}{10}
Poiché hai eseguito la stessa operazione sia sul numeratore che sul denominatore della frazione, è ancora equivalente alla frazione originale. Il suo valore non è cambiato; è cambiato solo il modo in cui lo scrivi.
Controlla il tuo lavoro per assicurarti di aver finito. Se numeratore e denominatore non condividono alcun fattore comune maggiore di uno, la frazione è nella sua forma più semplice.
Semplificare le frazioni con i radicali
Ci sono alcune altre "complicazioni" che sono molto comuni quando inizi a trattare con le frazioni. Uno è quando un segno radicale o radice quadrata si presenta nel denominatore della frazione:
\frac{2}{\sqrt{a}}
In questo caso, un potrebbe rappresentare qualsiasi numero; è solo un segnaposto. E non importa quale sia il numero sotto il segno del radicale, usi la stessa procedura per rimuovere il radicale dal denominatore, che è anche noto come razionalizzazione del denominatore. Si moltiplica il denominatore per lo stesso radicale che già contiene, sfruttando la proprietà che a × a = un, o per dirla in altro modo, quando moltiplichi una radice quadrata per se stessa, cancelli di fatto il segno radicale, lasciandoti solo con il numero (o in questo caso, la lettera) sotto.
Ovviamente non puoi eseguire alcuna operazione sul denominatore della frazione senza applicare la stessa operazione anche al numeratore, quindi devi moltiplicare sia la parte superiore che quella inferiore della frazione per a. Questo ti dà:
\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} × \sqrt{a}}
oppure, una volta semplificato
\frac{2\sqrt{a}}{a}
In questo caso non puoi eliminare completamente la radice quadrata, ma in questa fase della matematica, i radicali di solito vanno bene al numeratore ma non al denominatore.
Semplificare le frazioni complesse
Un altro ostacolo comune che potresti incontrare nello scrivere una frazione nella sua forma più semplice è una frazione complessa, ovvero una frazione che ha un altro frazione nel numeratore, nel denominatore o in entrambi. In questo caso, è utile ricordare che qualsiasi frazione un/b si può anche scrivere come un ÷ b. Quindi, invece di confonderti se vedi qualcosa come 1/2 / 3/4, puoi iniziare scrivendolo con il segno di divisione:
\frac{1}{2} ÷ \frac{3}{4}
Successivamente, ricorda che dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il suo inverso. Oppure, per dirla in altro modo, otterrai lo stesso risultato capovolgendo la seconda frazione (creando l'inverso) e moltiplicandola per quella, operazione molto più semplice da eseguire. Quindi la tua operazione diventa:
\frac{1}{2} × \frac{4}{3}= \frac{4}{6}
Nota che sei tornato a una frazione semplice - non ci sono frazioni "extra" nascoste nel numeratore o nel denominatore - ma non è proprio nei minimi termini. Puoi anche scomporre 2 sia dal numeratore che dal denominatore, che ti dà 2/3 come risposta finale.