Come semplificare le frazioni radicali

Le frazioni radicali non sono piccole frazioni ribelli che stanno fuori fino a tardi, bevendo e fumando erba. Invece, sono frazioni che includono radicali, di solito radici quadrate quando ti viene presentato per la prima volta concetto, ma in seguito potresti anche incontrare radici cubiche, radici quarte e simili, tutte chiamate anche i radicali. A seconda di ciò che il tuo insegnante ti chiede di fare, ci sono due modi per semplificare le frazioni radicali: o scomponi il radicale completamente, semplificalo o "razionalizza" la frazione, il che significa che elimini il radicale dal denominatore ma potresti comunque avere un radicale nel numeratore.

Considera la tua prima opzione, scomponendo il radicale fuori dalla frazione. Ci sono in realtà due modi per farlo. Se lo stesso radicale esiste in tutti i termini sia nella parte superiore che in quella inferiore della frazione, puoi semplicemente scomporre e annullare l'espressione radicale. Ad esempio, se hai:

(2√3) / (3√3_)_

Puoi scomporre entrambi i radicali, perché sono presenti in ogni termine al numeratore e al denominatore. Questo ti lascia con:

√3/√3 × 2/3

E poiché qualsiasi frazione con gli stessi valori diversi da zero al numeratore e al denominatore è uguale a uno, puoi riscriverla come:

1 × 2/3

O semplicemente 2/3.

A volte ti troverai di fronte a un'espressione radicale che non ha una risposta concisa, come √3 dell'esempio precedente. In tal caso, di solito conserverai il termine radicale così com'è, utilizzando operazioni di base come la scomposizione in fattori o l'annullamento per rimuoverlo o isolarlo. Ma a volte c'è una risposta ovvia. Considera la seguente frazione:

(√4)/(√9)

In questo caso, se conosci le tue radici quadrate, puoi vedere che entrambi i radicali rappresentano effettivamente interi familiari. La radice quadrata di 4 è 2 e la radice quadrata di 9 è 3. Quindi, se vedi radici quadrate familiari, puoi semplicemente riscrivere la frazione con esse nella loro forma intera semplificata. In questo caso avresti:

2/3

Funziona anche con radici cubiche e altri radicali. Ad esempio, la radice cubica di 8 è 2 e la radice cubica di 125 è 5. Quindi se hai incontrato:

(³√8) / (³√125)

Con un po' di pratica, potresti vedere subito che si semplifica in modo molto più semplice e facile da gestire:

2/5

Spesso gli insegnanti ti permettono di mantenere espressioni radicali nel numeratore della tua frazione; ma, proprio come il numero zero, i radicali causano problemi quando compaiono nel denominatore o nell'ultimo numero della frazione. Quindi, l'ultimo modo in cui ti potrebbe essere chiesto di semplificare le frazioni radicali è un'operazione chiamata razionalizzarle, che significa semplicemente estrarre il radicale dal denominatore. Spesso, ciò significa che l'espressione radicale compare invece nel numeratore.

Considera la frazione

4/_√_5

Non puoi semplificare facilmente _√_5 in un numero intero e, anche se lo scomponi in fattori, ti rimane comunque una frazione che ha un radicale al denominatore, come segue:

1/_√_5 × 4/1

Quindi nessuno dei metodi già discussi funzionerà. Ma se ricordi le proprietà delle frazioni, una frazione con qualsiasi numero diverso da zero sia in alto che in basso è uguale a 1. Quindi potresti scrivere:

√_5/√_5 = 1

E poiché puoi moltiplicare 1 per qualsiasi altra cosa senza cambiare il valore di quell'altra cosa, puoi anche scrivere quanto segue senza cambiare effettivamente il valore della frazione:

√_5/√5 × 4/√_5

Una volta moltiplicato, succede qualcosa di speciale. Il numeratore diventa 4_√_5, il che è accettabile perché il tuo obiettivo era semplicemente estrarre il radicale dal denominatore. Se compare al numeratore, puoi occupartene.

Nel frattempo, il denominatore diventa √_5 × √5 o (√_5)². E poiché una radice quadrata e un quadrato si annullano a vicenda, questo si semplifica in 5. Quindi la tua frazione è ora:

4_√_5/5, che è considerata una frazione razionale perché non c'è un radicale al denominatore.