Quando una lettera come un, b, X o sì compare in un'espressione matematica, si chiama variabile, ma in realtà è un segnaposto che rappresenta un numero di valori sconosciuti. Puoi eseguire tutte le stesse operazioni matematiche su una variabile che eseguiresti su un numero noto. Questo fatto è utile se la variabile compare in una frazione, dove avrai bisogno di strumenti come la moltiplicazione, la divisione e l'annullamento dei fattori comuni per semplificare la frazione.
Combina termini simili sia al numeratore che al denominatore della frazione. Quando inizi a gestire le frazioni con variabile, questo può essere fatto per te. Ma in seguito, potresti incontrare frazioni "più disordinate" come le seguenti:
(un + un) / (2_a_ - un)
Quando combini termini simili, finisci con una frazione molto più civilizzata:
2_a_/un
Fattorizzare la variabile sia dal numeratore che dal denominatore della frazione, se possibile. Se la variabile è un fattore in entrambi i posti, puoi annullarla. Consideriamo la frazione semplificata appena data:
2_a_/un
Per inciso, ogni volta che vedi una variabile da sola, si intende che ha un coefficiente di 1. Quindi questo potrebbe anche essere scritto come:
2_a_/1_a_
Il che rende più ovvio che quando si annulla il fattore comune un sia dal numeratore che dal denominatore della frazione, ti rimane quanto segue:
2/1
Che, a sua volta, si semplifica all'intero numero 2.
E se avessi una frazione come 3_a_/2? Non puoi fattorizzare un fuori sia dal numeratore che dal denominatore della frazione, ma poiché è nel numeratore, puoi trattarlo come un numero intero. Per dare un senso a ciò, prima scrivi la frazione in questo modo:
3_a_/2(1)
Puoi inserire l'1 nel denominatore grazie alla proprietà dell'identità moltiplicativa, che afferma che quando moltiplichi un numero qualsiasi per 1, il risultato sarà il numero originale con cui hai iniziato. Quindi non hai cambiato affatto il valore della frazione; l'hai appena scritto in modo un po' diverso.
Quindi, separare i fattori in questo modo:
un/1 × 3/2
E semplificare un/1 a un. Questo ti dà:
un × 3/2
Che può essere semplicemente scritto come il numero misto:
un (3/2)
E se ti ritrovi con una frazione disordinata come la seguente?
(b2 - 9) / (b + 3)
A prima vista non c'è un modo semplice per fattorizzare b da numeratore e denominatore. Sì, b è presente in entrambi i posti, ma dovresti fattorizzarlo fuori l'intero termine in entrambi i posti, il che ti darebbe ancora più disordine b(b - 9/b) al numeratore e b(1 + 3/b) al denominatore. Questo è un vicolo cieco.
Ma se hai prestato attenzione nelle tue altre lezioni, potresti notare che il numeratore può effettivamente essere riscritto come (b2 - 32), nota anche come "differenza dei quadrati", perché sottrai un numero al quadrato da un altro numero al quadrato. E c'è una formula speciale che puoi memorizzare per fattorizzare la differenza dei quadrati. Usando questa formula, puoi riscrivere il numeratore come segue:
(b - 3)(b + 3)
Ora, dai un'occhiata a questo nel contesto dell'intera frazione:
(b - 3)(b + 3) / (b + 3)
Grazie a quella formula standard che hai memorizzato o cercato, ora hai lo stesso fattore (b + 3) sia al numeratore che al denominatore della tua frazione. Una volta annullato quel fattore, ti rimane la seguente frazione:
(b - 3) / 1
Il che semplifica solo:
(b - 3)
Suggerimenti
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La formula standard per la differenza dei quadrati è:
(X2 - sì2) = (X - sì)(X + sì)