Come trovare asintoti verticali e orizzontali

Quando espresse su un grafico, alcune funzioni sono continue dall'infinito negativo all'infinito positivo. Tuttavia, non è sempre così: altre funzioni si interrompono in un punto di discontinuità, oppure si spengono e non superano mai un certo punto del grafico. Gli asintoti verticali e orizzontali sono linee rette che definiscono il valore a cui una data funzione si avvicina se non si estende all'infinito in direzioni opposte. Gli asintoti orizzontali seguono sempre la formula y = C, mentre gli asintoti verticali seguono sempre la formula simile x = C, dove il valore C rappresenta una qualsiasi costante. Trovare gli asintoti, indipendentemente dal fatto che siano orizzontali o verticali, è un compito facile se segui alcuni passaggi.

Per trovare un asintoto verticale, scrivi prima la funzione di cui desideri determinare l'asintoto. Molto probabilmente, questa funzione sarà una funzione razionale, in cui la variabile x è inclusa da qualche parte nel denominatore. Di norma, quando il denominatore di una funzione razionale si avvicina a zero, ha un asintoto verticale. Una volta che hai scritto la tua funzione, trova il valore di x che rende il denominatore uguale a zero. Ad esempio, se la funzione con cui stai lavorando è y = 1/(x+2), dovresti risolvere l'equazione x+2 = 0, un'equazione che ha la risposta x = -2. Potrebbero esserci più soluzioni possibili per funzioni più complesse.

Una volta trovato il valore x della tua funzione, prendi il limite della funzione quando x si avvicina al valore che hai trovato da entrambe le direzioni. Per questo esempio, quando x tende a -2 da sinistra, y tende a infinito negativo; quando -2 viene avvicinato da destra, y tende all'infinito positivo. Ciò significa che il grafico della funzione si divide alla discontinuità, saltando dall'infinito negativo all'infinito positivo. Se stai lavorando con una funzione più complessa che ha più di una possibile soluzione, dovrai prendere il limite di ogni possibile soluzione. Infine, scrivi le equazioni degli asintoti verticali della funzione ponendo x uguale a ciascuno dei valori utilizzati nei limiti. Per questo esempio, c'è un solo asintoto: dato dall'equazione l'asintoto verticale è uguale a x = -2.

Mentre le regole degli asintoti orizzontali possono essere leggermente diverse da quelle degli asintoti verticali, il processo per trovare gli asintoti orizzontali è semplice come trovare quelli verticali. Inizia scrivendo la tua funzione. Gli asintoti orizzontali possono essere trovati in un'ampia varietà di funzioni, ma molto probabilmente si troveranno di nuovo nelle funzioni razionali. Per questo esempio, la funzione è y = x/(x-1). Prendi il limite della funzione quando x tende all'infinito. In questo esempio, "1" può essere ignorato perché diventa insignificante quando x si avvicina all'infinito (perché infinito meno 1 è ancora infinito). Quindi, la funzione diventa x/x, che è uguale a 1. Pertanto, il limite quando x tende all'infinito di x/(x-1) è uguale a 1.

Usa la soluzione del limite per scrivere l'equazione degli asintoti. Se la soluzione è un valore fisso, c'è un asintoto orizzontale, ma se la soluzione è infinita, non c'è asintoto orizzontale. Se la soluzione è un'altra funzione, c'è un asintoto, ma non è né orizzontale né verticale. Per questo esempio, l'asintoto orizzontale è y = 1.

Quando hai a che fare con problemi con funzioni trigonometriche che hanno asintoti, non preoccuparti: trovare gli asintoti per queste funzioni è come semplice come seguire gli stessi passaggi che usi per trovare gli asintoti orizzontali e verticali delle funzioni razionali, usando i vari limiti. Tuttavia, quando si tenta questo è importante rendersi conto che le funzioni trigonometriche sono cicliche e, di conseguenza, possono avere molti asintoti.