Cerchi esferesono di natura universale e rappresentano versioni bidimensionali e tridimensionali della stessa forma essenziale. Un cerchio è una curva chiusa su un piano, mentre una sfera è un costrutto tridimensionale. Ciascuno di essi consiste in un insieme di punti che giacciono tutti alla stessa distanza fissa da un punto centrale. Questa distanza è chiamataraggio.
I cerchi e le sfere sono entrambi simmetrici e le loro proprietà hanno applicazioni vitali illimitate in fisica, ingegneria, arte, matematica e ogni altra attività umana. Se ti viene presentato un problema di matematica che coinvolge una sfera, è sufficiente un po' di matematica di routine trova il centro e il raggio della sfera fintanto che hai certe altre informazioni sulla sfera in mano.
L'equazione di una sfera con centro e raggio R
L'equazione generale per l'area di un cerchio è
A = r^2
dover(oR) è il raggio. La distanza più ampia attraverso un cerchio o una sfera è chiamata diametro (D) ed è il doppio del valore del raggio. La distanza intorno a un cerchio, detta circonferenza, è data da 2π
r, (o equivalentemente, πD); la stessa formula vale per il percorso più lungo intorno a una sfera.Su uno standardX-, sì-, z- sistema di coordinate, il centro di qualsiasi sfera può essere convenientemente posizionato all'origine (0, 0, 0). Ciò significa che se il raggio èR, i punti (R, 0, 0), (0, R, 0) e (0, 0,R) giacciono tutti sulla superficie della sfera, così come (−R, 0, 0), (0, −R, 0) e (0, 0,−R).
Altre informazioni sulle sfere
Le sfere, come i piani, hanno una superficie curva. La Terra e altri pianeti sono esempi di sfere che hanno superfici che sono spesso trattate funzionalmente come bidimensionale perché qualsiasi porzione di dimensioni ragionevoli della superficie terrestre appare come tale sulla scala di operazioni a misura d'uomo.
L'area della superficie di una sfera è data da
A = 4πr^2
e il suo volume è dato da
V = \frac{4}{3}πr^3
Ciò significa che se hai un valore per l'area o il volume, per trovare il centro e il raggio della sfera, puoi prima calcolarer, e poi sai esattamente quanto lontano devi andare in linea retta fino a raggiungere il centro della sfera, assumendo che tu non sia libero di stabilire (0, 0, 0) come centro per comodità.
La Terra come Sfera
La Terra non è letteralmente una sfera, poiché è appiattita nella parte superiore e inferiore grazie in parte alla rotazione per miliardi di anni. La linea che forma la sua circonferenza, intorno alla parte più grassa al centro, ha un nome speciale, l'equatore.
Problema:Dato che il raggio della Terra è poco meno di 4.000 miglia, stima la circonferenza, l'area della superficie e il volume.
C = 2π × 4.000 = \text{ circa } 25.000 \text{ miglia } \\ \,\\ A = 4π × 4.000^2 = \text{ circa } 2 × 10^8 \text{ mi}^2 \, \testo{ (200 milioni di miglia quadrate)} \\ \,\\ A = \frac{4}{3} × π × 4.000^3 = \text{ circa } 2,56 ×10^{10} \text{ mi}^3 \,\ text{ (256 miliardi di cubi miglia)}
Suggerimenti
Per riferimento, sebbene i grandi paesi Stati Uniti, Cina e Canada sembrino occupare una frazione significativa della superficie terrestre su un globo, ciascuna di queste nazioni ha un'area compresa tra 3 e 4 milioni di miglia quadrate, o meno del 2% della superficie terrestre in ciascuna esempio.
Stima del volume di una sfera
Come illustra l'esempio sopra, se vuoi trovare il volume di una sfera e non hai un'equazione di un calcolatore di sfere dispositivo a portata di mano, puoi stimarlo ricordando che π è circa 3 (in realtà 3,141...) e che (4/3) π è quindi vicino a 4. Se riesci a ottenere una buona stima del cubo del raggio, sarai abbastanza vicino per scopi "ballpark" sul volume.