In matematica, un radicale è qualsiasi numero che include il segno della radice (√). Il numero sotto il segno della radice è una radice quadrata se nessun apice precede il segno della radice, una radice cubica è un apice 3 lo precede (3√), una quarta radice se un 4 la precede (4) e così via. Molti radicali non possono essere semplificati, quindi la divisione per uno richiede tecniche algebriche speciali. Per farne uso, ricorda queste uguaglianze algebriche:
\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b}
Radice quadrata numerica nel denominatore
In generale, un'espressione con una radice quadrata numerica al denominatore ha il seguente aspetto:
\frac{a}{\sqrt{b}}
Per semplificare questa frazione, razionalizzi il denominatore moltiplicando l'intera frazione perb/√b.
Perché
\sqrt{b} × \sqrt{b} = \sqrt{b^2} = b
l'espressione diventa
\frac{a\sqrt{b}}{b}
Esempi:
1. Razionalizzare il denominatore della frazione
\frac{5}{\sqrt{6}}
Soluzione:Moltiplica la frazione per 6/√6
\frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} \\ \,\\ \frac{5\sqrt{6}}{6} \text{ o } \frac{5 }{6}× \sqrt{6}
2. Semplifica la frazione
\frac{6\sqrt{32}}{3\sqrt{8}}
Soluzione:In questo caso, puoi semplificare dividendo i numeri fuori dal segno radicale e quelli al suo interno in due operazioni separate:
\frac{6}{3} = 2 \\ \,\\ \frac{\sqrt{32}}{ \sqrt{8}} = \sqrt{4} = 2
L'espressione si riduce a
2 × 2 = 4
Dividere per radici cubiche
La stessa procedura generale si applica quando il radicale nel denominatore è un cubo, radice quarta o superiore. Per razionalizzare un denominatore con una radice cubica, bisogna cercare un numero che, moltiplicato per il numero sotto il segno del radicale, produce un terzo numero di potenza che può essere tolto. In generale, razionalizzare il numero
\frac{a}{\sqrt[3]{b}} \text{ moltiplicando per } \frac{ \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^2}}
Esempio:
1. Razionalizzare
\frac{5}{\sqrt[3]{5}}
Moltiplica numeratore e denominatore per 3√25.
\frac{5 ×\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5} ×\sqrt[3]{25}} \\ \,\\ = \frac{5\sqrt[3]{ 25}}{\sqrt[3]{125}} \\ \,\\ = \frac{5\sqrt[3]{25}}{5}
I numeri fuori dal segno radicale si annullano e la risposta è
\sqrt[3]{25}
Variabili con due termini nel denominatore
Quando un radicale al denominatore include due termini, di solito puoi semplificarlo moltiplicandolo per il suo coniugato. Il coniugato include gli stessi due termini, ma inverti il segno tra di loro Ad esempio, il coniugato di
x + y \text{ è } x - y
Quando li moltiplichi insieme, ottieni
x^2 - y^2
Esempio:
1. Razionalizzare il denominatore di
\frac{4}{x + \sqrt{3}}
Soluzione: Moltiplicare superiore e inferiore per x − √3
\frac{4(x - \sqrt{3})}{(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3} )}
Semplificare:
\frac{4x - 4\sqrt{3}}{x^2 - 3}