Una volta che inizi a fare trigonometria e calcolo, potresti imbatterti in espressioni come sin (2θ), dove ti viene chiesto di trovare il valore diθ. Giocare per tentativi ed errori con grafici o una calcolatrice per trovare la risposta andrebbe da un incubo prolungato a totalmente impossibile. Fortunatamente, le identità a doppio angolo sono qui per aiutarti. Queste sono istanze speciali di quella che è nota come formula composta, che interrompe le funzioni delle forme (UN + B) o (UN – B) giù in funzioni di justUNeB.
Le identità a doppio angolo per il seno
Ci sono tre identità a doppio angolo, una per le funzioni seno, coseno e tangente. Ma le identità seno e coseno possono essere scritte in più modi. Ecco i due modi per scrivere l'identità del doppio angolo per la funzione seno:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ \\ \sin (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 + \tan^2θ}
Le identità del doppio angolo per il coseno
Ci sono ancora più modi per scrivere l'identità del doppio angolo per il coseno:
\cos (2θ) = \cos^2θ - \sin^2θ \\ \cos (2θ) = 2\cos^2θ - 1 \\ \cos (2θ) = 1 - 2\sin^2θ \\ \cos ( 2θ) = \frac{1 - \tan^2θ}{1 + \tan^2θ}
L'identità del doppio angolo per la tangente
Per fortuna, c'è solo un modo per scrivere l'identità del doppio angolo per la funzione tangente:
\tan (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 - \tan^2θ}
Utilizzo di identità a doppio angolo
Immagina di trovarti di fronte a un triangolo rettangolo di cui conosci la lunghezza dei suoi lati, ma non la misura dei suoi angoli. Ti è stato chiesto di trovareθ, doveθè uno degli angoli del triangolo. Se l'ipotenusa del triangolo misura 10 unità, il lato adiacente al tuo angolo misura 6 unità e il lato opposto all'angolo misura 8 unità, non importa che tu non conosca la misura diθ; puoi usare la tua conoscenza di seno e coseno, più una delle formule del doppio angolo, per trovare la risposta.
Una volta scelto un angolo, puoi definire il seno come il rapporto tra il cateto opposto sull'ipotenusa e il coseno come il rapporto tra il cateto adiacente sull'ipotenusa. Quindi nell'esempio appena dato, hai:
\sinθ = \frac{8}{10} \\ \,\\ \cosθ = \frac{6}{10}
Trovi queste due espressioni perché sono gli elementi costitutivi più importanti per le formule del doppio angolo.
Poiché ci sono così tante formule a doppio angolo tra cui scegliere, puoi selezionare quella che sembra più facile da calcolare e restituirà il tipo di informazioni di cui hai bisogno. In questo caso, perché conosci il peccatoθe cosθgià, è chiaro che l'espressione più conveniente è:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ
Conosci già i valori di sinθ e cosθ, quindi sostituiscili nell'equazione:
\sin (2θ) = 2 × \frac{8}{10} × \frac{6}{10}
Una volta semplificato, avrai:
\sin (2θ) = \frac{96}{100}
La maggior parte dei grafici trigonometrici sono dati in decimali, quindi lavora la divisione rappresentata dalla frazione per convertirla in forma decimale. Ora hai:
\sin (2θ) = 0,96
Infine, trova il seno o l'arcoseno inverso di 0,96, che è scritto come sin −1(0.96). Oppure, in altre parole, usa la calcolatrice o un grafico per approssimare l'angolo che ha un seno di 0,96. A quanto pare, è quasi esattamente uguale a 73,7 gradi. quindi 2θ= 73,7 gradi.
Dividi ciascun lato dell'equazione per 2. Questo ti dà:
θ = 36,85 \text{ gradi}