Un poligono è qualsiasi figura bidimensionale chiusa con 3 o più lati diritti (non curvi) e un poligono a 12 lati è noto come dodecagono. Un dodecagono regolare è uno con lati e angoli uguali, ed è possibile ricavare una formula per calcolarne l'area. Un dodecagono irregolare ha i lati di diverse lunghezze e diversi angoli. Una stella a sei punte è un esempio. Non c'è un modo semplice per calcolare l'area di una figura irregolare a 12 lati a meno che tu non l'abbia tracciata su un grafico e sia in grado di leggere le coordinate di ciascuno dei vertici. In caso contrario, la strategia migliore è dividere la figura in forme regolari per le quali è possibile calcolare l'area.
Calcolo dell'area di un poligono regolare di 12 lati
Per calcolare l'area di un dodecagono regolare, devi trovare il suo centro e il modo migliore per farlo è tracciare un cerchio attorno ad esso che tocchi appena ciascuno dei suoi vertici. Il centro del cerchio è il centro del dodecagono e la distanza dal centro della figura a ciascuno dei suoi vertici è semplicemente il raggio del cerchio (
r). Ciascuno dei 12 lati della figura ha la stessa lunghezza, quindi denotalo conS.Hai bisogno di un'altra misura, e questa è la lunghezza di una linea perpendicolare tracciata dal punto medio di ciascun lato al centro della forma a 12 lati. Questa linea è conosciuta come l'apotema. Indica la sua lunghezza conm. Divide ogni sezione formata dalle linee del raggio in due triangoli rettangoli. non lo saim, ma puoi trovarlo usando il teorema di Pitagora.
Le 12 linee del raggio dividono il cerchio che hai disegnato attorno al dodecagono in 12 sezioni uguali, quindi al centro della figura, l'angolo che ogni linea forma con quella accanto è di 30 gradi. Ognuna delle 12 sezioni formate dalle linee del raggio è formata da una coppia di triangoli rettangoli con ipotenusare un angolo di 15 gradi. Il lato adiacente all'angolo èm, quindi puoi trovarlo usando r e il seno dell'angolo.
\sin (15) = \frac{m}{r} \, \text{ e risolvi per }m \\ m = r × \sin (15)
Ora puoi trovare l'area di ciascuno dei triangoli isosceli inscritti nel dodecagono, perché conosci la lunghezza della base - che èS– e l'altezza,m. L'area di ogni triangolo è
\begin{aligned} \text{area} &= \frac{1}{2} × \text{ base} × \text{ altezza} \\ &= \frac{1}{2} × s × m \\ &= 1/2 × (s × r × \sin (15)) \end{allineato}
Ci sono 12 sezioni di questo tipo, quindi moltiplica per 12 per trovare l'area totale della forma regolare a 12 lati:
\text{ Area del dodecagono regolare} = 6 × (s × r × \sin (15))
Trovare l'area di un dodecagono irregolare
Non esiste una formula per trovare l'area di un dodecagono irregolare, poiché le lunghezze dei lati e degli angoli non sono le stesse. È persino difficile individuare il centro. La strategia migliore è dividere la figura in forme regolari, calcolare l'area di ciascuna e sommarle.
Se la forma è tracciata su un grafico e conosci le coordinate dei vertici, c'è una formula che puoi usare per calcolare l'area. Se ogni punto (n) è definito da (Xn, sìn), e si gira intorno alla figura in ordine, in senso orario o antiorario, per ottenere una serie di 12 punti, l'area è:
\text{Area} = \frac{| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3)+... + (x_{11}y_{12} - y_{11}x_{12}) +(x_{12}y_1 - y_{12}x_1)|}{2}