Una sequenza matematica è un qualsiasi insieme di numeri disposti in ordine. Un esempio potrebbe essere 3, 6, 9, 12,... Un altro esempio sarebbe 1, 3, 9, 27, 81,... I tre punti indicano che la serie continua. Ogni numero nell'insieme è chiamato termine. Una sequenza aritmetica è quella in cui ogni termine è separato da quello precedente da una costante che si aggiunge a ciascun termine. Nel primo esempio, la costante è 3; aggiungi 3 a ogni termine per ottenere il termine successivo. La seconda sequenza non è aritmetica perché non puoi applicare questa regola per ottenere i termini; i numeri sembrano essere separati da 3, ma in questo caso ogni numero viene moltiplicato per 3, facendo la differenza (cioè, cosa otterresti sottraendo i termini l'uno dall'altro) molto più di 3.
È facile capire una sequenza aritmetica quando è lunga solo pochi termini, ma cosa succede se ha migliaia di termini e vuoi trovarne uno nel mezzo? Potresti scrivere la sequenza a mano, ma c'è un modo molto più semplice. Usi la formula della sequenza aritmetica.
Come derivare la formula della sequenza aritmetica
Se denoti il primo termine in una sequenza aritmetica con la letteraun, e lasci che sia la differenza comune tra i terminid, puoi scrivere la sequenza in questa forma:
a, (a + d), (a + 2 d), (a + 3 d),.. .
Se denoti l'ennesimo termine nella sequenza comeXn, puoi scrivere una formula generale per questo:
x_n = a + d (n - 1)
Usalo per trovare il decimo termine nella sequenza 3, 6, 9, 12,.. .
x_{10} = 3 + 3(10 - 1) = 30
Verifica scrivendo i termini in sequenza e vedrai che funziona.
Un esempio di problema di sequenza aritmetica
In molti problemi, ti viene presentata una sequenza di numeri e devi usare la formula della sequenza aritmetica per scrivere una regola per derivare qualsiasi termine in quella particolare sequenza.
Ad esempio, scrivi una regola per la sequenza 7, 12, 17, 22, 27,... La differenza comune (d) è 5 e il primo termine (un) è 7. Ilnesimo termine è dato dalla formula della sequenza aritmetica, quindi tutto ciò che devi fare è inserire i numeri e semplificare:
\begin{allineato} x_n &= a + d (n - 1) \\ &= 7 + 5(n - 1) \\ &= 7 + 5n - 5 \\ &= 2 + 5n \end{allineato}
Questa è una sequenza aritmetica con due variabili,Xnen. Se ne conosci uno, puoi trovare l'altro. Ad esempio, se stai cercando il centesimo termine (X100), poin= 100 e il termine è 502. D'altra parte, se vuoi sapere quale termine è il numero 377, riorganizza la formula della sequenza aritmetica risolvi pern:
\begin{allineato} n &= \frac{x_n - 2}{5} \\ \,\\ &= \frac{377 - 2}{5} \\ \,\\ &= 75 \end{allineato}
Il numero 377 è il 75esimo termine nella sequenza.