Semplifica i confronti di insiemi di numeri, in particolare insiemi di numeri grandi, calcolando i valori centrali utilizzando media, moda e mediana. Utilizzare gli intervalli e le deviazioni standard degli insiemi per esaminare la variabilità dei dati.
La media identifica il valore medio dell'insieme dei numeri. Si consideri, ad esempio, il set di dati contenente i valori 20, 24, 25, 36, 25, 22, 23.
Per trovare la media, usa la formula: La media è uguale alla somma dei numeri nel set di dati divisa per il numero di valori nel set di dati. In termini matematici:
\text{Mean}=\frac{\text{somma di tutti i termini}}{\text{quanti termini o valori nell'insieme}}
La mediana identifica il punto medio o il valore medio di un insieme di numeri.
Metti i numeri in ordine dal più piccolo al più grande. Utilizzare il set di valori di esempio: 20, 24, 25, 36, 25, 22, 23. Messo in ordine, il set diventa: 20, 22, 23, 24, 25, 25, 36.
Se l'insieme dei numeri ha un numero pari di valori, calcola la media dei due valori centrali. Ad esempio, supponiamo che l'insieme di numeri contenga i valori 22, 23, 25, 26. La metà si trova tra 23 e 25. Sommando 23 e 25 si ottiene 48. Dividendo 48 per due si ottiene un valore medio di 24.
La modalità identifica il valore oi valori più comuni nel set di dati. A seconda dei dati, potrebbero esserci una o più modalità o nessuna modalità.
Come trovare la mediana, ordina il set di dati dal più piccolo al più grande. Nel set di esempio, i valori ordinati diventano: 20, 22, 23, 24, 25, 25, 36.
Una modalità si verifica quando i valori si ripetono. Nel set di esempio, il valore 25 si verifica due volte. Nessun altro numero si ripete. Pertanto, la modalità è il valore 25.
In alcuni set di dati, si verifica più di una modalità. Il set di dati 22, 23, 23, 24, 27, 27, 29 contiene due modalità, una ciascuna a 23 e 27. Altri set di dati possono avere più di due modalità, possono avere modalità con più di due numeri (come 23, 23, 24, 24, 24, 28, 29: la modalità è uguale a 24) o potrebbe non avere alcuna modalità (come 21, 23, 24, 25, 26, 27, 29). La modalità può verificarsi ovunque nel set di dati, non solo nel mezzo.
L'intervallo mostra la distanza matematica tra i valori minimo e massimo nel set di dati. L'intervallo misura la variabilità del set di dati. Un ampio intervallo indica una maggiore variabilità nei dati, o forse un singolo valore anomalo lontano dal resto dei dati. I valori anomali possono distorcere o spostare il valore medio abbastanza da influire sull'analisi dei dati.
Nell'insieme campione, il valore di dati alto di 36 supera il valore precedente, 25, di 11. Questo valore sembra estremo, dati gli altri valori nel set. Il valore di 36 potrebbe essere un punto dati anomalo.
La deviazione standard misura la variabilità del set di dati. Come l'intervallo, una deviazione standard più piccola indica una minore variabilità.
Per trovare la deviazione standard è necessario sommare la differenza al quadrato tra ciascun punto dati e la media [∑(X − µ)2], sommando tutti i quadrati, dividendo quella somma per uno in meno del numero di valori (no− 1), e infine calcolando la radice quadrata del dividendo. In una formula, questo è:
Calcola la media sommando tutti i valori dei punti dati, quindi dividendo per il numero di punti dati. Nel set di dati di esempio,
Dividi la somma, 175, per il numero di punti dati, 7, o
Quindi, sottrai la media da ciascun punto dati, quindi eleva al quadrato ogni differenza. La formula è simile a questa:
dove ∑ significa somma,Xio rappresenta ogni valore del set di dati eµrappresenta il valore medio. Continuando con il set di esempio, i valori diventano:
20-25=-5 \text{ e } -5^2=25 \\ 24-25=-1 \text{ e } -1^2=1 \\ 25-25=0 \text{ e } 0^ 2=0 \\ 36-25=11 \text{ e } 11^2=121 \\ 25-25=0 \text{ e } 0^2=0 \\ 22-25=-3 \text{ e } -3^2=9 \\ 23- 25=-2 \testo{ e } -2^2=4
Dividi la somma delle differenze al quadrato per uno in meno del numero di punti dati. Il set di dati di esempio ha 7 valori, quindino− 1 è uguale a 7 − 1 = 6. La somma delle differenze al quadrato, 160, divisa per 6 equivale a circa 26,6667.
Calcola la deviazione standard trovando la radice quadrata della divisione perno− 1. Nell'esempio, la radice quadrata di 26,6667 equivale a circa 5,164. Pertanto, la deviazione standard è pari a circa 5,164.
La deviazione standard aiuta a valutare i dati. I numeri nel set di dati che rientrano in una deviazione standard della media fanno parte del set di dati. I numeri che non rientrano in due deviazioni standard sono valori estremi o valori anomali. Nell'esempio impostato, il valore 36 si trova a più di due deviazioni standard dalla media, quindi 36 è un valore anomalo. I valori anomali possono rappresentare dati errati o suggerire circostanze impreviste e dovrebbero essere considerati con attenzione durante l'interpretazione dei dati.