Se vedi le espressioni 32 e 53, potresti annunciare con uno svolazzo che significano "tre al quadrato" e "cinque al cubo" ed essere in grado di trovare numeri equivalenti senza esponenti, i numeri rappresentati dagli apici in alto a destra sopra. Questi numeri in questo caso sono 9 e 125.
Ma cosa succede se, invece di, diciamo, una semplice funzione esponenziale come y = x 3, devi invece risolvere un'equazione come y = 3X. Qui x, la variabile dipendente, appare come esponente. C'è un modo per tirare giù quella variabile dal suo trespolo per gestirla più facilmente matematicamente?
In effetti c'è, e la risposta sta nel naturale complemento di esponenti, che sono quantità divertenti e utili conosciute come logaritmi.
Cosa sono gli esponenti?
Un esponente, chiamato anche a energia, è un modo compresso di esprimere moltiplicazioni ripetute di un numero da solo. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Qualsiasi numero elevato alla potenza di 1 mantiene lo stesso valore; qualsiasi numero con esponente 0 è uguale a 1. Ad esempio, 721 = 72; 720 = 1.
Gli esponenti possono essere negativi, producendo la relazione X−n= 1/(xn). Possono anche essere espressi come frazioni, ad esempio 2(5/3). Se espressi come frazioni, sia il numeratore che il denominatore devono essere numeri interi.
Cosa sono i logaritmi?
I logaritmi, o "log", possono essere considerati come esponenti espressi come qualcosa di diverso da una potenza. Questo probabilmente non aiuta molto, quindi forse un esempio o due lo faranno.
Nell'espressione 103 = 1,000, il numero 10 è il base, e viene elevato alla terza potenza (o potere di tre). Puoi esprimerlo come "la base di 10 elevata alla terza potenza è uguale a 1.000".
Un esempio di logaritmo è log10(1,000) = 3. Nota che i numeri e le loro relazioni reciproche sono gli stessi dell'esempio precedente, ma sono stati spostati. In parole, questo significa "la base del log 10 di 1.000 è uguale a 3".
La quantità a destra è la potenza a cui deve essere elevata la base di 10 per eguagliare la discussione, o input del log, il valore tra parentesi (in questo caso 1.000). Questo valore deve essere positivo, perché anche la base, che può essere un numero diverso da 10, ma si presume che sia 10 se omessa, ad esempio "log 4", è sempre positiva.
Regole logaritmiche utili
Quindi, come puoi lavorare facilmente tra log ed esponenti? Alcune regole sul comportamento dei log possono iniziare a risolvere i problemi degli esponenti.
log_{b}(xy) = log_{b}{x} + log_{b}y log_{b}(\dfrac{x}{y}) = log_{b}{x} \text{ − }log_{ b}y log_{b}(x^A) = A⋅log_{b}(x) log_{b}(\dfrac{1}{y}) = −log_{b}(y)
Risolvere per un esponente
Con le informazioni di cui sopra, sei pronto per provare a risolvere per un esponente in un'equazione.
Esempio: Se 50 = 4X, cos'è x?
Se si porta il log alla base 10 di ogni lato e si omette l'identificazione esplicita della base, questo diventa log 50 = log 4X. Dalla casella sopra, sai che log 4X = x registro 4. Questo ti lascia con
log 50 = x log 4, oppure x = (log 50)/(log 4).
Usando la calcolatrice o il dispositivo elettronico di tua scelta, scopri che la soluzione è (1,689/0,602) = 2.82.
Risolvere equazioni esponenziali con e
Le stesse regole si applicano quando la base è e, il cosidetto logaritmo naturale, che ha un valore di circa 2,7183. Dovresti avere anche un pulsante per questo sulla tua calcolatrice. Anche questo valore ha la sua notazione: logex è scritto semplicemente "ln x".
- La funzione y = eX i, con e non una variabile ma una costante con questo valore, è l'unica funzione con pendenza uguale alla propria altezza per tutti x e y.
- Proprio come log1010X = x, ln eX = x per ogni x.
Esempio: Risolvi l'equazione 16 = e2,7x.
Come sopra, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, quindi x = 2/77/2,7 = 1.03.