Per costruire un vettore perpendicolare a un altro dato vettore, puoi utilizzare tecniche basate sul prodotto scalare e sul prodotto incrociato dei vettori. Il prodotto scalare dei vettori A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) è uguale alla somma dei prodotti delle componenti corrispondenti: A∙B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3. Se due vettori sono perpendicolari, il loro prodotto scalare è uguale a zero. Il prodotto vettoriale di due vettori è definito come A×B = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2*b1). Il prodotto vettoriale di due vettori non paralleli è un vettore perpendicolare ad entrambi.
Scrivi un ipotetico vettore sconosciuto V = (v1, v2).
Calcola il prodotto scalare di questo vettore e il vettore dato. Se ti viene dato U = (-3,10), allora il prodotto scalare è V∙U = -3 v1 + 10 v2.
Imposta il prodotto scalare uguale a 0 e risolvi per una componente sconosciuta rispetto all'altra: v2 = (3/10) v1.
Scegli qualsiasi valore per v1. Ad esempio, sia v1 = 1.
Risolvi per v2: v2 = 0.3. Il vettore V = (1,0.3) è perpendicolare a U = (-3,10). Se scegli v1 = -1, otterrai il vettore V' = (-1, -0.3), che punta nella direzione opposta alla prima soluzione. Queste sono le uniche due direzioni nel piano bidimensionale perpendicolare al dato vettore. Puoi ridimensionare il nuovo vettore alla grandezza che desideri. Ad esempio, per renderlo un vettore unitario con magnitudine 1, dovresti costruire W = V/(grandezza di v) = V/(sqrt (10) = (1/sqrt (10), 0.3/sqrt (10).
Scegli qualsiasi vettore arbitrario che non sia parallelo al vettore dato. Se un vettore Y è parallelo a un vettore X, allora Y = a*X per una costante diversa da zero a. Per semplicità, utilizzare uno dei vettori di base dell'unità, come X = (1, 0, 0).
Calcola il prodotto vettoriale di X e U, usando U = (10, 4, -1): W = X×U = (0, 1, 4).
Verifica che W sia perpendicolare a U. W∙U = 0 + 4 - 4 = 0. L'uso di Y = (0, 1, 0) o Z = (0, 0, 1) fornirebbe vettori perpendicolari diversi. Giacerebbero tutti nel piano definito dall'equazione 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0.