La capacità di calcolare il valore medio o medio di un gruppo di numeri è importante in ogni aspetto della vita. Se sei un professore assegna voti in lettere ai punteggi degli esami e tradizionalmente dai un voto da B- ad a punteggio medio del branco, allora devi chiaramente sapere che aspetto ha il mezzo del branco numericamente. Hai anche bisogno di un modo per identificare i punteggi come valori anomali in modo da poter determinare quando qualcuno merita un A o A + (al di fuori dei punteggi perfetti, ovviamente) e cosa merita un voto negativo.
Per questo e per i motivi correlati, i dati completi sulle medie includono informazioni su quanto strettamente raggruppati attorno al punteggio medio siano in generale i punteggi. Questa informazione viene trasmessa utilizzando deviazione standard e, in relazione, il varianza di un campione statistico.
Misure di variabilità
Quasi sicuramente hai sentito o visto il termine "media" usato in riferimento a un insieme di numeri o punti dati, e probabilmente hai un'idea di cosa si traduce nel linguaggio quotidiano. Ad esempio, se leggi che l'altezza media di una donna americana è di circa 5' 4", concludi immediatamente che "media" significa "tipico" e che circa la metà delle donne negli Stati Uniti è più alta di questa mentre circa la metà è più corto.
Matematicamente, media e significare sono esattamente la stessa cosa: aggiungi tutti i valori in un set e dividi per il numero di elementi nel set. Ad esempio, se un gruppo di 25 punteggi in un test di 10 domande va da 3 a 10 e somma fino a 196, il punteggio medio (medio) è 196/25 o 7,84.
La mediana è il valore del punto medio in un insieme, il numero che metà dei valori si trova sopra e metà dei valori si trova sotto. Di solito è vicino alla media (media) ma non è la stessa cosa.
Formula della varianza
Se osservi una serie di 25 punteggi come quelli sopra e non vedi quasi altro che i valori di 7, 8 e 9, è intuitivo che la media dovrebbe essere intorno a 8. Ma cosa succede se non vedi quasi nient'altro che punteggi di 6 e 10? O cinque punteggi di 0 e 20 punteggi di 9 o 10? Tutti questi possono produrre la stessa media.
La varianza è una misura della diffusione dei punti in un set di dati rispetto alla media. Per calcolare la varianza a mano, prendi la differenza aritmetica tra ciascuno dei punti dati e la media, quadrarli, aggiungere la somma dei quadrati e dividere il risultato per uno in meno del numero di punti dati nel in campione. Un esempio di ciò è fornito in seguito. Puoi anche utilizzare programmi come Excel o siti Web come Rapid Tables (vedi Risorse per siti aggiuntivi).
La varianza è indicata da σ2, un "sigma" greco con esponente 2.
Deviazione standard
Il deviazione standard di un campione è semplicemente la radice quadrata della varianza. Il motivo per cui i quadrati vengono utilizzati quando si calcola la varianza è che se si sommano semplicemente le differenze individuali tra la media e ciascuna singolo punto dati, la somma è sempre zero perché alcune di queste differenze sono positive e altre negative e si annullano a vicenda su. La quadratura di ogni termine elimina questa trappola.
Problema della varianza del campione e della deviazione standard
Supponiamo che ti vengano dati i 10 punti dati:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Trova la media, la varianza e la deviazione standard.
Innanzitutto, somma i 10 valori e dividi per 10 per ottenere la media (media):
70/10 = 7.0
Per ottenere la varianza, elevare al quadrato la differenza tra ciascun punto dati e la media, sommarli e dividere il risultato per (10 - 1) o 9:
- 7 - 4 = 3; 32 = 9
- 7 - 7 = 0; 02 = 0
- 7 - 10 = -3; (-3)2 = 9.. .
9 + 0 + 9 +... + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
La deviazione standard σ è solo la radice quadrata di 4.0 o 2.0.