Mentre le parole inglesi "sequence" e "series" hanno significati simili, in matematica sono concetti completamente diversi. Una sequenza è un elenco di numeri disposti in un ordine definito mentre una serie è la somma di un tale elenco di numeri. Esistono molti tipi di sequenze, comprese quelle basate su elenchi infiniti di numeri. Sequenze diverse e le serie corrispondenti hanno proprietà diverse e possono dare risultati sorprendenti.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Le sequenze sono elenchi di numeri disposti in un ordine definito secondo determinate regole. La serie corrispondente a una sequenza è la somma dei numeri in quella sequenza. La serie può essere aritmetica, nel senso che c'è una differenza fissa tra i numeri della serie, o geometrica, nel senso che c'è un fattore fisso. Le serie infinite non hanno un numero finale ma possono comunque avere una somma fissa in determinate condizioni.
Tipi di sequenze e serie
Le sequenze comuni sono aritmetiche o geometriche. In una sequenza aritmetica, ogni numero o termine della sequenza differisce dal termine precedente della stessa quantità. Ad esempio, se una differenza di sequenza aritmetica è 2, una sequenza aritmetica corrispondente potrebbe essere 1, 3, 5... Se la differenza è -3, una sequenza potrebbe essere 4, 1, -2... La sequenza aritmetica è definita dal numero iniziale e dalla differenza.
Per le sequenze geometriche, i termini differiscono di un fattore. Ad esempio, una sequenza con un fattore 2 potrebbe essere 2, 4, 8... e una sequenza con un fattore di 0,75 potrebbe essere 32, 24, 18... La sequenza geometrica è definita dal numero iniziale e dal fattore.
I tipi di serie dipendono dalla sequenza che viene aggiunta. Una serie aritmetica aggiunge i termini di una sequenza aritmetica e una serie geometrica aggiunge una sequenza geometrica.
Successioni e serie finite e infinite
Le successioni e le serie corrispondenti possono essere basate su un numero fisso di termini o su un numero infinito. Una sequenza finita ha un numero iniziale, una differenza o un fattore e un numero totale fisso di termini. Ad esempio, la prima sequenza aritmetica sopra con otto termini sarebbe 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. La prima sequenza geometrica sopra con sei termini sarebbe 2, 4, 8, 16, 32, 64. La corrispondente serie aritmetica avrebbe valore 64 e la serie geometrica 126. Le sequenze infinite non hanno un numero fisso di termini e i loro termini possono crescere all'infinito, diminuire fino a zero o avvicinarsi a un valore fisso. La serie corrispondente può anche avere un risultato infinito, zero o fisso.
Serie convergente e divergente
Le serie infinite sono divergenti se la somma tende all'infinito all'aumentare del numero dei termini. Una serie infinita è convergente se la sua somma si avvicina a un valore non infinito come zero o un altro numero fisso. Le serie sono convergenti se i termini della sequenza sottostante si avvicinano rapidamente a zero.
La serie che somma i termini della successione infinita 1, 2, 4... è divergente perché i termini della sequenza continuano a crescere, consentendo alla somma di raggiungere un valore infinito all'aumentare del numero dei termini. La serie 1, 0,5, 0,25... è convergente perché i termini diventano rapidamente molto piccoli.
Mentre le sequenze sono elenchi ordinati di numeri e le serie sono somme, entrambe possono essere strumenti importanti in valutare insiemi di numeri e le proprietà di convergenza o divergenza possono avere vita reale implicazioni. Una serie divergente rappresenta spesso una condizione instabile mentre una serie convergente spesso significa che un processo o una struttura saranno stabili.