Se fai matematica da un po', probabilmente ti sei imbattuto in esponenti. Un esponente è un numero, chiamato base, seguito da un altro numero solitamente scritto in apice. Il secondo numero è l'esponente o la potenza. Ti dice quante volte devi moltiplicare la base per se stessa. Ad esempio, 82 significa moltiplicare 8 per se stesso due volte per ottenere 16 e 103 significa 10 × 10 × 10 = 1.000. Quando hai esponenti negativi, la regola degli esponenti negativi impone che, invece di moltiplicare la base per il numero di volte indicato, dividi la base in 1 per quel numero di volte. Così
8^{ -2} = \frac{1}{8 × 8} = \frac{1}{64} \text{ e } 10^{-3} = \frac{1}{10 × 10 × 10} = \frac{1}{1.000} = 0,001
È possibile esprimere un generalizzato esponente negativo definizione scrivendo:
x^{-n} = \frac{1}{x^n}
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Per moltiplicare per un esponente negativo, sottrai quell'esponente. Per dividere per un esponente negativo, aggiungi quell'esponente.
Moltiplicazione degli esponenti negativi
Tenendo presente che puoi moltiplicare gli esponenti solo se hanno la stessa base, la regola generale per moltiplicare due numeri elevati ad esponenti è di sommare gli esponenti. Per esempio:
x^5 × x^3 = x^{(5 +3)} = x^8
Per capire perché questo è vero, nota cheX5 si intende (X × X × X × X × X) eX3 si intende (X × X × X). Quando moltiplichi questi termini, ottieni (X × X × X × X × X × X × X × X) = X8.
Un esponente negativo significa dividere la base elevata a quella potenza in 1. Così
x^5 × x^{ -3} = x^5 × \frac{1}{x^3} = (x × x × x × x × x) × \frac{1}{x × x × x}
Questa è una semplice divisione. Puoi cancellare tre delle x, lasciando (x × x) o x2. In altre parole, quando moltiplichi per un esponente negativo, aggiungi comunque l'esponente, ma poiché è negativo, questo equivale a sottrarlo. Generalmente,
x^n × x^{-m} = x^{(n - m)}
Dividere gli esponenti negativi
Secondo la definizione di esponente negativo:
x^{-n} = \frac{1}{x^n}
Quando dividi per un esponente negativo, è equivalente a moltiplicare per lo stesso esponente, solo positivo. Per capire perché questo è vero, considera
\frac{1}{x^{-n}} = \frac{1}{1/x^n} = x^n
Ad esempio, il numero
\frac{x^5}{x^{-3}} = x^5 × x^3
Aggiungi gli esponenti per ottenereX8. La regola è:
\frac{x^n}{x^{-m}} = x^{(n + m)}
Esempi
1. Semplificare
x^5y^4 × x^{-2}y^2
Raccogliendo gli esponenti:
x^{(5 - 2)}y^{(4 +2)} = x^3y^6
Puoi manipolare gli esponenti solo se hanno la stessa base, quindi non puoi semplificare ulteriormente.
2. Semplificare
\frac{x^3y^{-5}}{x^2 y^{-3 }}
Dividere per un esponente negativo equivale a moltiplicare per lo stesso esponente positivo, quindi puoi riscrivere questa espressione:
\begin{allineato} \frac{(x^3y^{-5}) × y^3}{ x^2} &= x^{(3 - 2)}y^{(-5 + 3)} \ \ &= xy^{-2} \\ &=\frac{x}{y^2} \end{allineato}
3. Semplificare
\frac{x^0y^2}{xy^{-3}}
Qualsiasi numero elevato a un esponente di 0 è 1, quindi puoi riscrivere questa espressione per leggere:
x^{-1}y^{(2 + 3)} =\frac{y^5}{x}