Immagina di manovrare un cannone, con l'obiettivo di abbattere le mura di un castello nemico in modo che il tuo esercito possa irrompere e rivendicare la vittoria. Se sai quanto velocemente viaggia la palla quando lascia il cannone e sai quanto sono lontane le pareti, a quale angolo di lancio hai bisogno per sparare con il cannone per colpire con successo le pareti?
Questo è un esempio di un problema di moto del proiettile, e puoi risolvere questo e molti problemi simili usando le equazioni di accelerazione costante della cinematica e alcune basi dell'algebra.
Movimento del proiettileè così che i fisici descrivono il movimento bidimensionale in cui l'unica accelerazione che l'oggetto in questione sperimenta è l'accelerazione costante verso il basso dovuta alla gravità.
Sulla superficie terrestre, l'accelerazione costanteunè uguale ag= 9,8 m/s2, e un oggetto sottoposto a movimento proiettile è incaduta liberacon questa come unica fonte di accelerazione. Nella maggior parte dei casi, prenderà il percorso di una parabola, quindi il movimento avrà una componente sia orizzontale che verticale. Sebbene avrebbe un effetto (limitato) nella vita reale, per fortuna la maggior parte dei problemi di movimento dei proiettili di fisica delle scuole superiori ignorano l'effetto della resistenza dell'aria.
Puoi risolvere i problemi di movimento dei proiettili usando il valore dige alcune altre informazioni di base sulla situazione a portata di mano, come la velocità iniziale del proiettile e la direzione in cui viaggia. Imparare a risolvere questi problemi è essenziale per superare la maggior parte delle lezioni introduttive di fisica e ti introduce ai concetti e alle tecniche più importanti di cui avrai bisogno anche nei corsi successivi.
Equazioni del moto dei proiettili
Le equazioni per il moto del proiettile sono le equazioni di accelerazione costante della cinematica, perché l'accelerazione di gravità è l'unica fonte di accelerazione che devi considerare. Le quattro equazioni principali necessarie per risolvere qualsiasi problema di movimento del proiettile sono:
v=v_0+at \\ s = \bigg(\frac{v + v_0} {2}\bigg) t \\ s = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ v^2 = v_0 ^2 + 2 come
Qui,vsta per velocità,v0 è la velocità iniziale,unè l'accelerazione (che è uguale all'accelerazione verso il basso digin tutti i problemi di moto dei proiettili),Sè lo spostamento (dalla posizione iniziale) e come sempre hai tempo,t.
Queste equazioni tecnicamente sono solo per una dimensione, e in realtà potrebbero essere rappresentate da quantità vettoriali (compresa la velocitàv, velocità inizialev0 e così via), ma in pratica puoi semplicemente usare queste versioni separatamente, una volta nelX-direzione e una volta insì-direzione (e se hai mai avuto un problema tridimensionale, nellaz-direzione anche).
È importante ricordare che questi sonoutilizzato solo per accelerazione costante, che li rende perfetti per descrivere situazioni in cui l'influenza della gravità è l'unica accelerazione, ma non adatto a molte situazioni del mondo reale in cui devono essere presenti forze aggiuntive additional considerato.
Per le situazioni di base, questo è tutto ciò di cui hai bisogno per descrivere il movimento di un oggetto, ma se necessario, puoi incorporarne altri fattori, come l'altezza da cui è stato lanciato il proiettile o addirittura risolverli per il punto più alto del proiettile sul suo sentiero.
Risoluzione dei problemi di movimento dei proiettili
Ora che hai visto le quattro versioni della formula del movimento del proiettile che dovrai usare per risolvere i problemi, puoi iniziare a pensare alla strategia che usi per risolvere il movimento di un proiettile problema.
L'approccio di base è quello di dividere il problema in due parti: una per il movimento orizzontale e una per il movimento verticale. Questo è tecnicamente chiamato componente orizzontale e componente verticale, e ciascuno ha un corrispondente insieme di grandezze, come la velocità orizzontale, la velocità verticale, lo spostamento orizzontale, lo spostamento verticale e presto.
Con questo approccio, puoi usare le equazioni cinematiche, notando che il tempotè lo stesso sia per le componenti orizzontali che per quelle verticali, ma cose come la velocità iniziale avranno componenti diverse per la velocità verticale iniziale e la velocità orizzontale iniziale.
La cosa cruciale da capire è che per il movimento bidimensionale,qualunquel'angolo di movimento può essere suddiviso in una componente orizzontale e in una componente verticale, ma quando fai questo ci sarà una versione orizzontale dell'equazione in questione e una verticale versione.
Trascurare gli effetti della resistenza dell'aria semplifica enormemente i problemi di movimento del proiettile perché la direzione orizzontale non ne ha mai problema di accelerazione in un moto del proiettile (caduta libera), poiché l'influenza della gravità agisce solo verticalmente (cioè verso la superficie del Terra).
Ciò significa che la componente della velocità orizzontale è solo una velocità costante e il movimento si ferma solo quando la gravità porta il proiettile a livello del suolo. Questo può essere usato per determinare il tempo di volo, perché dipende interamente dalsì-movimento in direzione e può essere calcolato interamente in base allo spostamento verticale (cioè, il tempotquando lo spostamento verticale è zero indica l'ora del volo).
Trigonometria nei problemi di moto dei proiettili
Se il problema in questione ti fornisce un angolo di lancio e una velocità iniziale, dovrai usare la trigonometria per trovare le componenti della velocità orizzontale e verticale. Una volta fatto ciò, puoi utilizzare i metodi descritti nella sezione precedente per risolvere effettivamente il problema.
In sostanza, si crea un triangolo rettangolo con l'ipotenusa inclinata all'angolo di lancio (θ) e il modulo della velocità come lunghezza, quindi il lato adiacente è la componente orizzontale della velocità e il lato opposto è la velocità verticale.
Disegna il triangolo rettangolo come indicato e vedrai che trovi i componenti orizzontale e verticale usando le identità trigonometriche:
\text{cos}\; θ = \frac{\text{adiacente}}{\text{ipotenusa}}
\text{peccato}\; θ = \frac{\text{opposto}}{\text{ipotenusa}}
Quindi questi possono essere riorganizzati (e con opposto =vsì e adiacente =vX, cioè rispettivamente la componente della velocità verticale e la componente della velocità orizzontale e l'ipotenusa =v0, la velocità iniziale) per dare:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Questa è tutta la trigonometria che dovrai fare per affrontare i problemi di movimento del proiettile: collegare l'angolo di lancio al equazione, utilizzando le funzioni seno e coseno sulla calcolatrice e moltiplicando il risultato per la velocità iniziale di proiettile.
Quindi, per fare un esempio, con una velocità iniziale di 20 m/s e un angolo di lancio di 60 gradi, i componenti sono:
\begin{allineato} v_x &= 20 \;\text{m/s} × \cos (60) \\ &= 10 \;\text{m/s} \\ v_y &= 20 \;\text {m /s} × \sin (60) \\ &= 17,32 \;\text{m/s} \end{allineato}
Esempio di problema di movimento del proiettile: un fuoco d'artificio che esplode
Immagina che un fuoco d'artificio abbia una miccia progettata in modo che esploda nel punto più alto della sua traiettoria e venga lanciato con una velocità iniziale di 60 m/s con un angolo di 70 gradi rispetto all'orizzontale.
Come faresti a capire quale altezza?hesplode a? E quale sarebbe il tempo dal lancio quando esplode?
Questo è uno dei tanti problemi che coinvolgono l'altezza massima di un proiettile, e il trucco per risolverli è notare che all'altezza massima, ilsì-componente della velocità è 0 m/s per un istante. Inserendo questo valore pervsì e scegliendo la più appropriata delle equazioni cinematiche, puoi affrontare facilmente questo e qualsiasi altro problema simile.
Innanzitutto, guardando le equazioni cinematiche, questa salta fuori (con i pedici aggiunti per mostrare che stiamo lavorando in direzione verticale):
v_y^2 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
Questa equazione è ideale perché conosci già l'accelerazione (unsì = -g), la velocità iniziale e l'angolo di lancio (così puoi calcolare la componente verticalevy0). Dal momento che stiamo cercando il valore diSsì (cioè, l'altezzah) quandovsì = 0, possiamo sostituire zero per la componente di velocità verticale finale e riorganizzare perSsì:
0 = v_{0y}^2 + 2a_ys_y
-2a_ys_y = v_{0y}^2
s_y = \frac{−v_{0y}^2}{2a_y}
Dal momento che ha senso chiamare la direzione verso l'altosì, e poiché l'accelerazione di gravitàgè diretto verso il basso (cioè, nel -sìdirezione), possiamo cambiareunsì per -g. Infine, chiamandoSsì l'altezzah, possiamo scrivere:
h = \frac{v_{0y}^2}{2g}
Quindi l'unica cosa che devi risolvere per risolvere il problema è la componente verticale della velocità iniziale, che puoi fare usando l'approccio trigonometrico della sezione precedente. Quindi con le informazioni della domanda (60 m/s e 70 gradi rispetto al lancio orizzontale), questo dà:
\begin{allineato} v_{0y} &= 60 \;\text{m/s} × \sin (70) \\ &= 56,38 \;\text{m/s} \end{allineato}
Ora puoi risolvere per l'altezza massima:
\begin{allineato} h &= \frac{v_{0y}^2}{2g} \\ &= \frac{(56.38 \; \text{m/s})^2}{2 × 9,8 \;\text{m/s}^2} \\ &= 162.19 \text{m} \end{allineato}
Quindi i fuochi d'artificio esploderanno a circa 162 metri da terra.
Continuando l'esempio: tempo di volo e distanza percorsa
Dopo aver risolto le basi del problema del movimento del proiettile basato esclusivamente sul movimento verticale, il resto del problema può essere risolto facilmente. Prima di tutto, il tempo dal lancio in cui la miccia esplode può essere trovato usando una delle altre equazioni di accelerazione costante. Guardando le opzioni, la seguente espressione:
s_y = \bigg(\frac{v_y + v_{0y}} {2}\bigg) t \\
ha il tempot, che è quello che vuoi sapere; lo spostamento, che conosci per il punto massimo del volo; la velocità verticale iniziale; e la velocità al momento dell'altezza massima (che sappiamo essere zero). Quindi, in base a questo, l'equazione può essere riorganizzata per fornire un'espressione per il tempo di volo:
s_y = \bigg(\frac{v_{0y}} {2}\bigg) t \\ t = \frac{2s_y}{v_{0y}}
Quindi inserendo i valori e risolvendo pertdà:
\begin{allineato} t &= \frac{2 × 162,19 \;\text{m}} {56,38 \; \text{m/s}} \\ &= 5.75 \;\text{s} \end{allineato}
Quindi i fuochi d'artificio esploderanno 5,75 secondi dopo il lancio.
Infine, puoi facilmente determinare la distanza orizzontale percorsa in base alla prima equazione, che (in direzione orizzontale) afferma:
v_x = v_{0x} + a_xt
Tuttavia, notando che non c'è accelerazione nelX-direzione, questo è semplicemente:
v_x = v_{0x}
Ciò significa che la velocità inXla direzione è la stessa per tutto il viaggio dei fuochi d'artificio. Dato chev = d/t, dovedè la distanza percorsa, è facile vederlod = vt, e quindi in questo caso (conSX = d):
s_x = v_{0x}t
Così puoi sostituirev0x con l'espressione trigonometrica di prima, inserisci i valori e risolvi:
\begin{allineato} s_x &= v_0 \cos (θ) t \\ &= 60 \;\text{m/s} × \cos (70) × 5.75 \;\text{s} \\ &= 118 \ ;\text{m} \end{allineato}
Quindi viaggerà per circa 118 m prima dell'esplosione.
Problema di movimento del proiettile aggiuntivo: The Dud Firework Du
Per un ulteriore problema su cui lavorare, immagina il fuoco d'artificio dell'esempio precedente (velocità iniziale di 60 m/s lanciata a 70 gradi rispetto all'orizzontale) non è esploso al culmine della sua parabola, e invece atterra a terra inesploso. Puoi calcolare il tempo totale di volo in questo caso? Quanto lontano dal sito di lancio in direzione orizzontale atterrerà, o in altre parole, qual è il?gammadel proiettile?
Questo problema funziona sostanzialmente allo stesso modo, dove le componenti verticali di velocità e spostamento sono le cose principali che devi considerare per determinare il tempo di volo, e da questo puoi determinare il gamma. Piuttosto che elaborare la soluzione in dettaglio, puoi risolverla da solo in base all'esempio precedente.
Ci sono formule per la portata di un proiettile, che puoi cercare o derivare dalle equazioni di accelerazione costante, ma questo non è veramente necessario perché si conosce già l'altezza massima del proiettile, e da questo punto è solo in caduta libera sotto l'effetto di gravità.
Ciò significa che puoi determinare il tempo impiegato dai fuochi d'artificio per ricadere a terra e quindi aggiungere questo tempo al tempo di volo all'altezza massima per determinare il tempo di volo totale. Da allora, è lo stesso processo di utilizzare la velocità costante in direzione orizzontale insieme al tempo di volo per determinare la distanza.
Dimostra che il tempo di volo è di 11,5 secondi e la portata è di 236 m, notando che dovrai farlo calcolare la componente verticale della velocità nel punto in cui colpisce il suolo come intermedio passo.
