Nella vita di tutti i giorni, la maggior parte delle persone usa i terminivelocitàevelocitàin modo intercambiabile, ma per i fisici sono esempi di due tipi di quantità molto diversi.
I problemi di meccanica riguardano il movimento degli oggetti e, sebbene tu possa descrivere il movimento in termini di velocità, la direzione specifica in cui qualcosa sta andando è spesso di fondamentale importanza.
Allo stesso modo, le forze applicate agli oggetti possono provenire da molte direzioni diverse - pensa alle forze opposte in un tiro alla fune, per esempio - quindi i fisici che descrivono situazioni come questa devono usare quantità che descrivono sia la "dimensione" di cose come le forze sia la direzione in cui esse atto. Queste quantità sono chiamatevettori.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Un vettore ha sia una grandezza che una direzione specifica, ma una quantità scalare ha solo una grandezza.
Vettori vs. scalari
La differenza chiave tra vettori e scalari è che la grandezza di un vettore non lo descrive interamente; ci deve essere anche una direzione dichiarata.
La direzione di un vettore può essere espressa in molti modi, sia attraverso segni positivi o negativi che lo precedono, esprimendola sotto forma di componenti (valori scalari accanto all'appropriatoio, jeK“vettore unitario”, che corrispondono alle coordinate cartesiane diX, sìez, rispettivamente), aggiungendo un angolo rispetto a una direzione indicata (ad esempio, "60 gradi dalX-axis”) o semplicemente aggiungendo alcune parole per descrivere la direzione (es. “nordovest”).
Al contrario, uno scalare è solo la grandezza del vettore senza alcuna notazione o informazione aggiuntiva fornita - ad esempio, la velocità è un equivalente scalare del vettore velocità. Da un punto di vista matematico, è il valore assoluto del vettore.
Tuttavia, molte quantità, come energia, pressione, lunghezza, massa, potenza e temperatura sono esempi di scalari che non sono solo la grandezza di un vettore corrispondente. Non è necessario conoscere la "direzione" della massa, ad esempio, per avere un quadro completo di essa come proprietà fisica.
Ci sono alcuni fatti controintuitivi che puoi capire quando conosci la differenza tra uno scalare e un vettore, come l'idea che qualcosa possa avere una velocità costante ma un continuo cambiamento velocità. Immagina un'auto che guida a una velocità costante di 10 km/h ma in cerchio. Poiché la direzione di un vettore fa parte della sua definizione, il vettore velocità dell'auto è sempre cambiando in questo esempio, nonostante il fatto che la grandezza del vettore (cioè, la sua velocità) sia costante.
Esempi di quantità vettoriali
Esistono molti esempi di vettori in fisica, ma alcuni degli esempi più noti sono la forza, la quantità di moto, l'accelerazione e la velocità, che sono tutte fortemente presenti nella fisica classica. Un vettore di velocità potrebbe essere visualizzato come 25 m/s ad est, -8 km/h nelsì-direzione,v= 5 m/sio+ 10 m/sj, o 10 m/s in una direzione di 50 gradi dalX-asse.
I vettori di momento sono un altro esempio che puoi usare per vedere come la grandezza e la direzione del vettore vengono visualizzate in fisica. Questi funzionano proprio come gli esempi del vettore di velocità, con 50 kg m/s a ovest, -12 km/h nelzdirezione,p= 12 kg m/sio– 10 kg m/sj– 15 kg m/sKe 100 kg m/s 30 gradi dalX-axis sono esempi di come potrebbero essere visualizzati. Gli stessi punti fondamentali valgono per la visualizzazione dei vettori di accelerazione, con l'unica differenza che è l'unità di m/s2 e il simbolo comunemente usato per il vettore,un.
La forza è l'ultimo di questi esempi di espressioni vettoriali e, sebbene ci siano molte somiglianze, usando coordinate cilindriche (r, θ, z) invece delle coordinate cartesiane può aiutare a mostrare altri modi in cui possono essere visualizzate. Ad esempio, potresti scrivere una forza comeF= 10 Nr+ 35 N𝛉, per una forza con componenti nella direzione radiale e nella direzione azimutale, o descrivere la forza di gravità su un oggetto di 1 kg sulla Terra come 10 N nella –rdirezione (cioè verso il centro del pianeta).
Notazione vettoriale nei diagrammi
Nei diagrammi, i vettori vengono visualizzati mediante frecce, con la grandezza del vettore rappresentata dalla lunghezza della freccia e la sua direzione rappresentata dalla direzione in cui punta la freccia. Ad esempio, una freccia più grande mostra che una forza è maggiore (cioè, più newton o una grandezza maggiore) di un'altra forza.
Per un vettore che mostra il movimento, come la quantità di moto o il vettore velocità, ilvettore zero(cioè, un vettore che non rappresenta velocità o quantità di moto) viene visualizzato utilizzando un singolo punto.
Vale la pena notare che, poiché la lunghezza della freccia rappresenta la grandezza del vettore e il suo orientamento rappresenta la direzione del vettore. È utile cercare di essere ragionevolmente precisi quando si crea un diagramma vettoriale. Non deve essere perfetto, ma se il vettoreunè due volte più grande del vettoreb, la freccia dovrebbe essere lunga circa il doppio.
Addizione e sottrazione vettoriale
L'addizione e la sottrazione di vettori sono un po' più complicate rispetto all'aggiunta e alla sottrazione di scalari, ma puoi imparare facilmente i concetti. Esistono due approcci principali che puoi utilizzare e ciascuno ha potenziali usi a seconda del problema specifico che stai affrontando.
Il primo, e il più facile da usare quando ti sono stati dati due vettori sotto forma di componenti, è semplicemente aggiungere componenti corrispondenti nello stesso modo in cui aggiungeresti normali scalari. Ad esempio, se dovessi sommare le due forzeF1 = 5 Nio+ 10 NjeF2 = 6 Nio+ 15 Nj+ 10 NK, aggiungeresti iliocomponenti, quindi iljcomponenti e infine ilKcomponenti come segue:
\begin{allineato} \bm{F}_1 + \bm{F}_2 &= (5 \;\text{N} \;\bold{i} + 10 \;\text{N}\;\bold{ j}) + (6 \;\text{N} \;\bold{i} + 15 \;\text{N}\;\bold{j} + 10 \;\text{N}\;\bold{ k}) \\ &= (5 \;\text{N} + 6 \;\text{N}) \bold{i} + (10 \;\text{N} + 15 \;\text{N}) \bold{j} + (0 \;\text{N} + 10 \;\text{N}) \bold{k} \\ &= 11 \;\text{N} \;\bold{i} + 25 \;\text{N} \;\bold{j} + 10 \;\text{N} \;\bold{k} \end{allineato}
La sottrazione vettoriale funziona esattamente allo stesso modo, tranne per la sottrazione delle quantità invece di aggiungerle. Anche l'addizione vettoriale è commutativa, come l'addizione ordinaria con numeri reali, quindiun + b = b + un.
Puoi anche eseguire l'addizione vettoriale usando i diagrammi a freccia posizionando le frecce vettoriali dalla testa alla coda e poi disegnando una nuova freccia vettoriale per la somma dei vettori che collegano la coda della prima freccia con la testa del secondo.
Se hai una semplice addizione vettoriale con una nelX-direzione e un altro insì-direzione, il diagramma forma un triangolo rettangolo. Puoi completare l'addizione del vettore e determinare la grandezza e la direzione del vettore risultante "risolendo" il triangolo usando la trigonometria e il teorema di Pitagora.
Il prodotto scalare e il prodotto incrociato
La moltiplicazione dei vettori è un po' più complicata della moltiplicazione scalare per i numeri reali, ma le due principali forme di moltiplicazione sono il prodotto scalare e il prodotto incrociato. Il prodotto scalare è detto prodotto scalare ed è definito come:
\bm{u} \;∙ \;\bm{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
o
\bm{u} \;∙ \;\bm{v} = \lvert\bm{u}\rvert\lvert\bm{v}\rvert \text{cos}(θ)
doveθè l'angolo tra i due vettori, ei pedici 1, 2 e 3 rappresentano la prima, la seconda e la terza componente del vettore. Il risultato del prodotto scalare è uno scalare.
Il prodotto incrociato è definito come:
\bm{a} \; \bold{×} \;\bm{b} =(a_2b_3 − a_3b_2, a_3b_1 − a_1b_3, a_1b_2 − a_2b_1)
con le virgole che separano i componenti del risultato in direzioni diverse.