La maggior parte delle persone conosce la conservazione dell'energia. In poche parole, dice che l'energia si conserva; non viene creato e non viene distrutto, e semplicemente cambia da una forma all'altra.
Quindi, se tieni una palla completamente ferma, a due metri da terra, e poi la rilasci, da dove viene l'energia che guadagna? Come può qualcosa ancora guadagnare così tanta energia cinetica prima che colpisca il suolo?
La risposta è che la palla ferma possiede una forma di energia immagazzinata chiamataenergia potenziale gravitazionale, o GPE in breve. Questa è una delle forme più importanti di energia immagazzinata che uno studente di liceo incontrerà in fisica.
GPE è una forma di energia meccanica causata dall'altezza dell'oggetto sopra la superficie della Terra (o in effetti, qualsiasi altra fonte di un campo gravitazionale). Qualsiasi oggetto che non si trova nel punto di energia più bassa in un tale sistema ha una certa energia potenziale gravitazionale, e se rilasciato (cioè lasciato cadere liberamente), accelererà verso il centro del campo gravitazionale finché qualcosa until lo ferma.
Sebbene il processo per trovare l'energia potenziale gravitazionale di un oggetto sia abbastanza matematicamente semplice, il concetto è straordinariamente utile quando si tratta di calcolare altre quantità. Ad esempio, conoscere il concetto di GPE rende davvero facile calcolare l'energia cinetica e la velocità finale di un oggetto che cade.
Definizione di energia potenziale gravitazionale
GPE dipende da due fattori chiave: la posizione dell'oggetto rispetto a un campo gravitazionale e la massa dell'oggetto. Il centro di massa del corpo che crea il campo gravitazionale (sulla Terra, il centro del pianeta) è il punto a più bassa energia del campo (sebbene in pratica il corpo reale fermerà la caduta prima di questo punto, come fa la superficie terrestre), e più un oggetto è lontano da questo punto, più energia immagazzinata ha a causa della sua posizione. La quantità di energia immagazzinata aumenta anche se l'oggetto è più massiccio.
Puoi capire la definizione di base dell'energia potenziale gravitazionale se pensi a un libro appoggiato su uno scaffale. Il libro ha il potenziale di cadere a terra a causa della sua posizione elevata rispetto al suolo, ma che inizia fuori sul pavimento non può cadere, perché è già in superficie: il libro sullo scaffale ha GPE, ma quello a terra non lo fa.
L'intuizione ti dirà anche che un libro che è due volte più spesso farà il doppio di un tonfo quando colpisce il suolo; questo perché la massa dell'oggetto è direttamente proporzionale alla quantità di energia potenziale gravitazionale che un oggetto possiede.
Formula GPE
La formula per l'energia potenziale gravitazionale (GPE) è molto semplice e mette in relazione la massam, l'accelerazione di gravità sulla Terrag) e altezza sopra la superficie terrestrehall'energia immagazzinata per gravità:
GPE=mg
Come è comune in fisica, ci sono molti potenziali simboli diversi per l'energia potenziale gravitazionale, tra cuitug, PEgrave e altri. GPE è una misura dell'energia, quindi il risultato di questo calcolo sarà un valore in joule (J).
L'accelerazione dovuta alla gravità terrestre ha un valore (approssimativamente) costante in qualsiasi punto della superficie e punta direttamente al centro di massa del pianeta: g = 9,81 m/s2. Dato questo valore costante, le uniche cose di cui hai bisogno per calcolare GPE sono la massa dell'oggetto e l'altezza dell'oggetto sopra la superficie.
Esempi di calcolo GPE
Quindi cosa fai se devi calcolare quanta energia potenziale gravitazionale ha un oggetto? In sostanza, puoi semplicemente definire l'altezza dell'oggetto in base a un semplice punto di riferimento (il terreno di solito funziona bene) e moltiplicarlo per la sua massame la costante gravitazionale terrestregper trovare il GPE.
Ad esempio, immagina una massa di 10 kg sospesa a un'altezza di 5 metri dal suolo da un sistema di carrucole. Quanta energia potenziale gravitazionale possiede?
Utilizzando l'equazione e sostituendo i valori noti si ottiene:
\begin{allineato} GPE&=mgh \\ &= 10 \;\text{kg} × 9,81 \;\text{m/s}^2 × 5 \;\text{m}\\ &= 490.5 \;\ testo{J} \end{allineato}
Tuttavia, se hai pensato al concetto durante la lettura di questo articolo, potresti aver considerato una domanda interessante: se il potenziale gravitazionale l'energia di un oggetto sulla Terra è veramente zero solo se è al centro della massa (cioè, all'interno del nucleo terrestre), perché la calcoli come se la superficie del la terra èh = 0?
La verità è che la scelta del punto "zero" per l'altezza è arbitraria, e di solito è fatta per semplificare il problema. Ogni volta che calcoli GPE, sei davvero più preoccupato per l'energia potenziale gravitazionalei cambiamentipiuttosto che qualsiasi tipo di misura assoluta dell'energia immagazzinata.
In sostanza, non importa se decidi di chiamare un tavoloh= 0 invece della superficie terrestre perché sei semprein realtàparlando di variazioni di energia potenziale legate a variazioni di altezza.
Considera, quindi, qualcuno che solleva un libro di testo di fisica di 1,5 kg dalla superficie di una scrivania, sollevandolo di 50 cm (cioè 0,5 m) sopra la superficie. Qual è la variazione di energia potenziale gravitazionale (indicata con ∆GPE) per il libro come viene sollevato?
Il trucco, ovviamente, è chiamare il tavolo il punto di riferimento, con un'altezza dih= 0, o equivalente, per considerare la variazione di altezza (∆h) dalla posizione iniziale. In entrambi i casi, ottieni:
\begin{allineato} ∆GPE &= mg∆h \\ &= 1,5 \;\text{kg} × 9,81 \;\text{m/s}^2 × 0,5 \;\text{m}\\ &= 7.36 \;\text{J} \end{allineato}
Mettere la "G" in GPE
Il valore preciso per l'accelerazione gravitazionalegnell'equazione GPE ha un grande impatto sull'energia potenziale gravitazionale di un oggetto sollevato a una certa distanza sopra una sorgente di un campo gravitazionale. Sulla superficie di Marte, per esempio, il valore digè circa tre volte più piccolo che sulla superficie della Terra, quindi se sollevi lo stesso oggetto lo stesso distanza dalla superficie di Marte, avrebbe circa tre volte meno energia immagazzinata di quanta ne avrebbe su Terra.
Allo stesso modo, sebbene sia possibile approssimare il valore digcome 9,81 m/s2 su tutta la superficie terrestre a livello del mare, è in realtà più piccolo se ci si allontana notevolmente dalla superficie. Ad esempio, se fossi su un monte. L'Everest, che sorge a 8.848 m (8,848 km) sopra la superficie terrestre, essendo così lontano dal centro di massa del pianeta ridurrebbe il valore digleggermente, quindi avrestig= 9,79 m/s2 al culmine.
Se avessi scalato con successo la montagna e avessi sollevato in aria una massa di 2 kg a 2 m dalla vetta della montagna, quale sarebbe il cambiamento di GPE?
Come calcolare GPE su un altro pianeta con un diverso valore dig, inserisci semplicemente il valore pergche si adatta alla situazione e seguire lo stesso processo di cui sopra:
\begin{allineato} ∆GPE &= mg∆h \\ &= 2 \;\text{kg} × 9,79\;\text{m/s}^2 × 2 \;\text{m}\\ &= 39.16 \;\text{J} \end{allineato}
Al livello del mare sulla Terra, cong= 9,81 m/s2, il sollevamento della stessa massa modificherebbe il GPE di:
\begin{allineato} ∆GPE &= mg∆h \\ &= 2 \;\text{kg} × 9,81\;\text{m/s}^2 × 2 \;\text{m}\\ &= 39.24 \;\text{J} \end{allineato}
Questa non è una grande differenza, ma mostra chiaramente che l'altitudine influisce sul cambiamento di GPE quando si esegue lo stesso movimento di sollevamento. E sulla superficie di Marte, doveg= 3,75 m/s2 sarebbe:
\begin{allineato} ∆GPE &= mg∆h \\ &= 2 \;\text{kg} × 3,75\;\text{m/s}^2 × 2 \;\text{m}\\ &= 15 \;\text{J} \end{allineato}
Come puoi vedere, il valore digè molto importante per il risultato che ottieni. Eseguendo lo stesso movimento di sollevamento nello spazio profondo, lontano da qualsiasi influenza della forza di gravità, non ci sarebbe sostanzialmente alcun cambiamento nell'energia potenziale gravitazionale.
Trovare l'energia cinetica usando GPE
La conservazione dell'energia può essere utilizzata insieme al concetto di GPE per semplificaremolticalcoli in fisica In breve, sotto l'influenza di una forza “conservativa”, si conserva l'energia totale (inclusa l'energia cinetica, l'energia potenziale gravitazionale e tutte le altre forme di energia).
Una forza conservativa è quella in cui la quantità di lavoro svolto contro la forza per spostare un oggetto tra due punti non dipende dal percorso intrapreso. Quindi la gravità è conservativa perché sollevare un oggetto da un punto di riferimento a un'altezzahcambia l'energia potenziale gravitazionale dimgh, ma non fa differenza se lo muovi in un percorso a forma di S o in linea retta: cambia sempre solo dimgh.
Ora immagina una situazione in cui stai facendo cadere una palla da 500 g (0,5 kg) da un'altezza di 15 metri. Ignorando l'effetto della resistenza dell'aria e supponendo che non ruoti durante la caduta, quanta energia cinetica avrà la palla nell'istante prima che entri in contatto con il suolo?
La chiave di questo problema è il fatto che l'energia totale si conserva, quindi tutta l'energia cinetica proviene dal GPE, e quindi l'energia cineticaEK al suo valore massimo deve essere uguale al GPE al suo valore massimo, oppureGPE = EK. Quindi puoi risolvere facilmente il problema:
\begin{allineato} E_k &= GPE \\ &= mgh\\ &= 0,5 \;\text{kg} × 9,81\;\text{m/s}^2 × 15 \;\text{m}\\ &= 73.58 \;\text{J} \end{allineato}
Trovare la velocità finale usando GPE e la conservazione dell'energia
La conservazione dell'energia semplifica anche molti altri calcoli che coinvolgono l'energia potenziale gravitazionale. Pensa alla palla dell'esempio precedente: ora che conosci l'energia cinetica totale basata sulla sua gravità gravi energia potenziale nel suo punto più alto, qual è la velocità finale della palla nell'istante prima che colpisca la Terra? superficie? Puoi risolverlo in base all'equazione standard per l'energia cinetica:
E_k=\frac{1}{2}mv^2
Con il valore diEK noto, puoi riorganizzare l'equazione e risolvere per la velocitàv:
\begin{allineato} v&=\sqrt{\frac{2E_k}{m}} \\ &=\sqrt{\frac{2 × 73.575 \;\text{J}}{0.5\;\text{kg}} } \\ &=17.16 \;\text{m/s} \end{allineato}
Tuttavia, puoi usare la conservazione dell'energia per derivare un'equazione che si applica aqualunqueoggetto che cade, notando prima che in situazioni come questa, -∆GPE = ∆EK, e così:
mgh = \frac{1}{2}mv^2
Annullamentomda entrambi i lati e riordinando dà:
gh = \frac{1}{2}v^2 \\ \text{Quindi} \;v= \sqrt{2gh}
Nota che questa equazione mostra che, ignorando la resistenza dell'aria, la massa non influisce sulla velocità finalev, quindi se fai cadere due oggetti dalla stessa altezza, colpiranno il suolo esattamente nello stesso momento e cadranno alla stessa velocità. Puoi anche controllare il risultato ottenuto utilizzando il metodo più semplice in due fasi e mostrare che questa nuova equazione produce effettivamente lo stesso risultato con le unità corrette.
Derivare valori extraterrestri digUtilizzo di GPE
Infine, l'equazione precedente ti dà anche un modo per calcolaregsu altri pianeti. Immagina di aver lasciato cadere la palla da 0,5 kg da 10 m sopra la superficie di Marte e di aver registrato una velocità finale (appena prima che colpisca la superficie) di 8,66 m/s. Qual è il valore digsu Marte?
A partire da una fase precedente della riorganizzazione:
gh = \frac{1}{2}v^2
Vedi che:
\begin{allineato} g &= \frac{v^2}{2h} \\ &= \frac{(8.66 \;\text{m/s})^2}{2 × 10 \;\text{m }} \\ &= 3,75 \;\text{m/s}^2 \end{allineato}
La conservazione dell'energia, in combinazione con le equazioni per l'energia potenziale gravitazionale e l'energia cinetica, hamoltiusi, e quando ti abituerai a sfruttare le relazioni, sarai in grado di risolvere facilmente una vasta gamma di problemi di fisica classica.
