Bayangkan Anda berdiri di tengah arena yang melingkar sempurna. Anda melihat ke arah kerumunan di sepanjang sisi arena, dan Anda melihat sahabat Anda di satu kursi dan guru matematika sekolah menengah Anda di beberapa bagian. Berapa jarak antara mereka dan Anda? Seberapa jauh Anda harus berjalan untuk melakukan perjalanan dari tempat duduk teman Anda ke tempat duduk guru Anda? Berapa besar sudut di antara kalian? Ini semua adalah pertanyaan yang berkaitan dengan sudut pusat.
SEBUAH sudut pusat adalah sudut yang terbentuk ketika dua jari-jari ditarik dari pusat lingkaran ke tepinya. Dalam contoh ini, dua jari-jari adalah dua garis pandang Anda dari Anda, di tengah arena, ke teman Anda, dan garis pandang Anda ke guru Anda. Sudut yang terbentuk di antara kedua garis tersebut adalah sudut pusat. Ini adalah sudut yang paling dekat dengan pusat lingkaran.
Temanmu dan gurumu duduk di sepanjang lingkar atau tepi lingkaran. Jalur di sepanjang arena yang menghubungkan mereka adalah busur.
Cari Sudut Pusat dari Panjang Busur dan Keliling
Ada beberapa persamaan yang dapat Anda gunakan untuk mencari sudut pusat. Terkadang Anda akan mendapatkan panjang busur, jarak sepanjang keliling antara dua titik. (Dalam contoh, ini adalah jarak yang harus Anda tempuh untuk berjalan di sekitar arena dari teman Anda ke guru Anda.) Hubungan antara sudut pusat dan panjang busur adalah:
(panjang busur) keliling = (sudut pusat) 360°
Sudut pusat akan dalam derajat.
Rumus ini masuk akal, jika Anda memikirkannya. Panjang busur keluar dari total panjang keliling lingkaran (keliling) adalah sama dengan proporsi sudut busur keluar dari total sudut dalam lingkaran (360 derajat).
Untuk menggunakan persamaan ini secara efektif, Anda perlu mengetahui keliling lingkaran. Tetapi Anda juga dapat menggunakan rumus ini untuk menemukan panjang busur jika Anda mengetahui sudut pusat dan kelilingnya. Atau, jika Anda memiliki panjang busur dan sudut pusat, Anda dapat menemukan kelilingnya!
Temukan Sudut Tengah dari Panjang Busur dan Radius
Anda juga dapat menggunakan jari-jari lingkaran dan panjang busur untuk menemukan sudut pusat. Sebut ukuran sudut pusat. Kemudian:
= sr, di mana s adalah panjang busur dan r adalah jari-jari. diukur dalam radian.
Sekali lagi, Anda dapat mengatur ulang persamaan ini tergantung pada informasi yang Anda miliki. Anda dapat menemukan panjang busur dari jari-jari dan sudut pusat. Atau Anda dapat menemukan jari-jari jika Anda memiliki sudut pusat dan panjang busur.
Jika Anda ingin panjang busur, persamaannya terlihat seperti ini:
s =* r, di mana s adalah panjang busur, r adalah jari-jari, dan adalah sudut pusat dalam radian.
Teorema Sudut Pusat
Mari tambahkan sentuhan pada contoh Anda di mana Anda berada di arena bersama tetangga dan guru Anda. Sekarang ada orang ketiga yang Anda kenal di arena: tetangga sebelah Anda. Dan satu hal lagi: Mereka ada di belakang Anda. Anda harus berbalik untuk melihat mereka.
Tetangga Anda kira-kira berada di seberang arena dari teman dan guru Anda. Dari sudut pandang tetangga Anda, ada sudut pandang yang dibentuk oleh garis pandang mereka ke teman dan garis pandang mereka ke guru. Itu disebut sudut tertulis. Sebuah sudut tertulis adalah sudut yang dibentuk oleh tiga titik sepanjang keliling lingkaran.
Teorema Sudut Tengah menjelaskan hubungan antara ukuran sudut pusat, yang dibentuk oleh Anda, dan sudut tertulis, yang dibentuk oleh tetangga Anda. Itu Teorema Sudut Tengah menyatakan bahwa sudut pusat adalah dua kali sudut tertulis. (Ini mengasumsikan bahwa Anda menggunakan titik akhir yang sama. Anda berdua melihat guru dan teman, bukan orang lain).
Berikut cara lain untuk menulisnya. Sebut saja kursi temanmu A, kursi gurumu B, dan kursi tetanggamu C. Anda, di tengah, bisa menjadi O.
Jadi, untuk tiga titik A, B, dan C sepanjang keliling lingkaran dan titik O di pusatnya, sudut pusat AOC adalah dua kali sudut ∠ABC.
Itu adalah, AOC = 2∠ABC.
Ini masuk akal. Anda lebih dekat dengan teman dan guru, jadi bagi Anda mereka terlihat lebih jauh (sudut yang lebih besar). Untuk tetangga Anda di sisi lain stadion, mereka terlihat lebih dekat satu sama lain (sudut yang lebih kecil).
Pengecualian untuk Teorema Sudut Pusat
Sekarang, mari kita ubah semuanya. Tetangga Anda di sisi jauh arena mulai bergerak! Mereka masih memiliki garis pandang dengan teman dan guru, tetapi garis dan sudut terus bergeser saat tetangga bergerak. Coba tebak: Selama tetangga tetap berada di luar busur antara teman dan tetangga, Teorema Sudut Tengah masih berlaku!
Tapi apa yang terjadi ketika tetangga pindah antara teman dan guru? Sekarang tetangga Anda ada di dalam busur kecil, jarak yang relatif kecil antara teman dan guru dibandingkan dengan jarak yang lebih besar di sekitar arena lainnya. Kemudian Anda mencapai pengecualian untuk Teorema Sudut Tengah.
Itu pengecualian untuk Teorema Sudut Pusat menyatakan bahwa ketika titik C, tetangga, berada di dalam busur kecil, sudut yang tertulis adalah suplemen dari setengah sudut pusat. (Ingat bahwa sudut dan suplemen tambahkan ke 180 derajat.)
Begitu: sudut tertulis = 180 - (sudut pusat 2)
Atau: ABC = 180 - (∠AOC 2)
Membayangkan
Referensi Terbuka Matematika memiliki alat untuk memvisualisasikan Teorema Sudut Pusat dan pengecualiannya. Anda bisa menyeret "tetangga" ke semua bagian lingkaran yang berbeda dan melihat sudutnya berubah. Cobalah jika Anda ingin latihan visual atau ekstra!