Jika Anda mengetahui dua titik yang jatuh pada kurva eksponensial tertentu, Anda dapat menentukan kurva tersebut dengan menyelesaikan fungsi eksponensial umum menggunakan titik-titik tersebut. Dalam praktiknya, ini berarti mengganti titik-titik untuk y dan x dalam persamaan y = abx. Prosedurnya lebih mudah jika nilai x untuk salah satu titik adalah 0, yang berarti titik tersebut berada pada sumbu y. Jika tidak ada titik yang memiliki nilai x nol, proses penyelesaian untuk x dan y sedikit lebih rumit.
Mengapa Fungsi Eksponensial Penting
Banyak sistem penting mengikuti pola eksponensial pertumbuhan dan peluruhan. Misalnya, jumlah bakteri dalam koloni biasanya meningkat secara eksponensial, dan radiasi ambien di atmosfer setelah peristiwa nuklir biasanya menurun secara eksponensial. Dengan mengambil data dan memplot kurva, para ilmuwan berada dalam posisi yang lebih baik untuk membuat prediksi.
Dari Sepasang Poin ke Grafik
Setiap titik pada grafik dua dimensi dapat diwakili oleh dua angka, yang biasanya ditulis dalam bentuk (x, y), di mana x mendefinisikan jarak horizontal dari titik asal dan y mewakili vertikal jarak. Misalnya, titik (2, 3) adalah dua satuan di sebelah kanan sumbu y dan tiga satuan di atas sumbu x. Di sisi lain, titik (-2, -3) adalah dua unit di sebelah kiri sumbu y. dan tiga satuan di bawah sumbu x.
Jika Anda memiliki dua titik, (x1, kamu1) dan (x2, kamu2), Anda dapat menentukan fungsi eksponensial yang melalui titik-titik ini dengan mensubstitusinya ke dalam persamaan y = abx dan penyelesaian untuk a dan b. Secara umum, Anda harus menyelesaikan pasangan persamaan ini:
kamu1 = abx1 dan kamu2 = abx2, .
Dalam bentuk ini, matematika terlihat sedikit rumit, tetapi terlihat kurang rumit setelah Anda melakukan beberapa contoh.
Satu Titik pada sumbu X
Jika salah satu dari nilai-x -- katakanlah x1 -- adalah 0, operasi menjadi sangat sederhana. Misalnya, menyelesaikan persamaan untuk titik (0, 2) dan (2, 4) menghasilkan:
2 = ab0 dan 4 = ab2. Karena kita tahu bahwa b0 = 1, persamaan pertama menjadi 2 = a. Mengganti a dalam persamaan kedua menghasilkan 4 = 2b2, yang kita sederhanakan menjadi b2 = 2, atau b = akar kuadrat dari 2, yang sama dengan kira-kira 1,41. Fungsi yang menentukan adalah y = 2 (1,41)x.
Tidak ada Titik pada sumbu X
Jika tidak ada nilai x yang nol, penyelesaian pasangan persamaan sedikit lebih rumit. Henokhmat memandu kita melalui contoh mudah untuk memperjelas prosedur ini. Dalam contoh, ia memilih pasangan poin (2, 3) dan (4, 27). Ini menghasilkan pasangan persamaan berikut:
27 = ab4
3 = ab2
Jika persamaan pertama dibagi dengan persamaan kedua, diperoleh
9 = b2
jadi b = 3. Mungkin b juga sama dengan -3, tetapi dalam kasus ini, anggap itu positif.
Anda dapat mengganti nilai ini untuk b dalam kedua persamaan untuk mendapatkan a. Lebih mudah menggunakan persamaan kedua, jadi:
3 = a (3)2 yang dapat disederhanakan menjadi 3 = a9, a = 3/9 atau 1/3.
Persamaan yang melalui titik-titik ini dapat ditulis sebagai y = 1/3(3)x.
Contoh dari Dunia Nyata
Sejak tahun 1910, pertumbuhan populasi manusia telah menjadi eksponensial, dan dengan memplot kurva pertumbuhan, para ilmuwan berada dalam posisi yang lebih baik untuk memprediksi dan merencanakan masa depan. Pada tahun 1910, populasi dunia adalah 1,75 miliar, dan pada tahun 2010, menjadi 6,87 miliar. Mengambil 1910 sebagai titik awal, ini memberikan pasangan poin (0, 1.75) dan (100, 6.87). Karena nilai x dari titik pertama adalah nol, kita dapat dengan mudah menemukan a.
1,75 = ab0 atau a = 1,75. Memasukkan nilai ini, bersama dengan poin kedua, ke dalam persamaan eksponensial umum menghasilkan 6,87 = 1,75b100, yang memberikan nilai b sebagai akar keseratus dari 6.87/1.75 atau 3.93. Jadi persamaannya menjadi y = 1,75 (akar keseratus dari 3,93)x. Meskipun dibutuhkan lebih dari sekadar aturan geser untuk melakukannya, para ilmuwan dapat menggunakan persamaan ini untuk memproyeksikan jumlah populasi di masa depan untuk membantu para politisi di masa sekarang untuk membuat kebijakan yang tepat.