Setiap siswa aljabar di tingkat yang lebih tinggi perlu belajar memecahkan persamaan kuadrat. Ini adalah jenis persamaan polinomial yang memiliki pangkat 2 tetapi tidak ada yang lebih tinggi, dan memiliki bentuk umum:kapak2 + bx + c= 0. Anda dapat menyelesaikannya dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat, dengan memfaktorkan atau dengan melengkapi kuadrat.
TL; DR (Terlalu Panjang; Tidak Membaca)
Pertama cari faktorisasi untuk menyelesaikan persamaan. Jika tidak ada satu tapibkoefisien habis dibagi 2, lengkapi kuadratnya. Jika tidak ada pendekatan yang mudah, gunakan rumus persamaan kuadrat.
Menggunakan Faktorisasi untuk Menyelesaikan Persamaan
Faktorisasi memanfaatkan fakta bahwa ruas kanan persamaan kuadrat standar sama dengan nol. Ini berarti jika Anda dapat membagi persamaan menjadi dua suku di dalam tanda kurung dikalikan satu sama lain, Anda dapat mencari solusi dengan memikirkan apa yang akan membuat setiap tanda kurung sama dengan nol. Untuk memberikan contoh konkrit:
x^2 + 6x + 9 = 0
Bandingkan ini dengan bentuk standar:
ax^2 + bx + c = 0
Dalam contoh,Sebuah = 1, b= 6 danc= 9. Tantangan memfaktorkan adalah menemukan dua bilangan yang dijumlahkan untuk menghasilkan bilangan dibtempat dan kalikan bersama untuk mendapatkan nomor di tempat untukc.
Jadi, mewakili angka denganddane, Anda mencari angka yang memenuhi:
d + e = b
Atau dalam hal ini, denganb = 6:
d + e = 6
Dan
d × e = c
Atau dalam hal ini, denganc = 9:
d × e = 9
Fokus pada menemukan bilangan yang merupakan faktor daric, lalu tambahkan keduanya untuk melihat apakah keduanya sama theyb. Bila Anda memiliki nomor Anda, letakkan dalam format berikut:
(x + d) (x + e)
Dalam contoh di atas, keduanyaddaneadalah 3:
x^2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Jika Anda mengalikan tanda kurung, Anda akan mendapatkan ekspresi aslinya lagi, dan ini adalah praktik yang baik untuk memeriksa faktorisasi Anda. Anda dapat menjalankan proses ini (dengan mengalikan bagian pertama, dalam, luar, dan kemudian terakhir dari tanda kurung secara bergantian -- lihat Sumberdaya untuk lebih detail) untuk melihatnya secara terbalik:
\begin{selaras} (x + 3) (x + 3) &= (x × x) + (3 × x ) + (x × 3) + (3 × 3) \\ &= x^2 + 3x + 3x + 9 \\ &= x^2 + 6x + 9 \\ \end{selaras}
Faktorisasi secara efektif berjalan melalui proses ini secara terbalik, tetapi dapat menjadi tantangan untuk menyelesaikannya cara yang benar untuk memfaktorkan persamaan kuadrat, dan metode ini tidak ideal untuk setiap persamaan kuadrat untuk ini alasan. Seringkali Anda harus menebak faktorisasi dan kemudian memeriksanya.
Masalahnya sekarang adalah membuat salah satu ekspresi dalam tanda kurung menjadi sama dengan nol melalui pilihan nilai Anda untukx. Jika salah satu kurung sama dengan nol, seluruh persamaan sama dengan nol, dan Anda telah menemukan solusinya. Lihatlah tahap terakhir [(x + 3) (x+ 3) = 0] dan Anda akan melihat bahwa satu-satunya waktu tanda kurung keluar ke nol adalah jikax= −3. Namun, dalam kebanyakan kasus, persamaan kuadrat memiliki dua solusi.
Faktorisasi bahkan lebih menantang jikaSebuahtidak sama dengan satu, tetapi fokus pada kasus sederhana lebih baik pada awalnya.
Menyelesaikan Persegi untuk Memecahkan Persamaan
Menyelesaikan kuadrat membantu Anda memecahkan persamaan kuadrat yang tidak dapat difaktorkan dengan mudah. Metode ini dapat bekerja untuk persamaan kuadrat apa pun, tetapi beberapa persamaan lebih cocok daripada yang lain. Pendekatan ini melibatkan membuat ekspresi menjadi kuadrat sempurna dan menyelesaikannya. Persegi sempurna generik mengembang seperti ini:
(x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapi kuadrat, dapatkan ekspresi ke dalam bentuk di sisi kanan di atas. Bagi dulu bilangan tersebut padabposisi dengan 2, dan kemudian kuadratkan hasilnya. Jadi untuk persamaan:
x^2 + 8x = 0
Koefisienb= 8, jadib2 = 4 dan (b ÷ 2)2 = 16.
Tambahkan ini ke kedua sisi untuk mendapatkan:
x^2 + 8x + 16 = 16
Perhatikan bahwa bentuk ini cocok dengan bentuk persegi sempurna, dengand= 4, jadi 2d= 8 dand2 = 16. Ini berarti bahwa:
x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2
Masukkan ini ke persamaan sebelumnya untuk mendapatkan:
(x + 4)^2 = 16
Sekarang selesaikan persamaan untukx. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi untuk mendapatkan:
x + 4 = \sqrt{16}
Kurangi 4 dari kedua sisi untuk mendapatkan:
x = \sqrt{16} - 4
Akar bisa positif atau negatif, dan mengambil akar negatif memberikan:
x = -4 - 4 = -8
Temukan solusi lain dengan akar positif:
x = 4 - 4 = 0
Oleh karena itu satu-satunya solusi bukan nol adalah 8. Periksa ini dengan ekspresi asli untuk mengonfirmasi.
Menggunakan Rumus Kuadrat untuk Menyelesaikan Persamaan
Rumus persamaan kuadrat terlihat lebih rumit daripada metode lainnya, tetapi ini adalah metode yang paling andal, dan Anda dapat menggunakannya pada persamaan kuadrat apa pun. Persamaan menggunakan simbol dari persamaan kuadrat standar:
ax^2 + bx + c = 0
Dan menyatakan bahwa:
x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Masukkan angka-angka yang sesuai ke tempatnya dan kerjakan rumus untuk menyelesaikannya, ingat untuk mencoba mengurangi dan menjumlahkan suku akar kuadrat dan mencatat kedua jawaban. Untuk contoh berikut:
x^2 + 6x + 5 = 0
Kamu punyaSebuah = 1, b= 6 danc= 5. Jadi rumusnya memberikan:
\begin{aligned} x &= \frac{-6 ± \sqrt{6^2 - 4×1×5}}{2×1} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{36 - 20} }{2} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{-6 ± 4}{2} \end{aligned}
Mengambil tanda positif memberikan:
\begin{aligned} x &= \frac{-6 + 4}{2} \\ &= \frac{-2}{2} \\ &= -1 \end{aligned}
Dan mengambil tanda negatif memberikan:
\begin{aligned} x &= \frac{-6 - 4}{2} \\ &= \frac{-10}{2} \\ &= -5 \end{aligned}
Yang merupakan dua solusi untuk persamaan tersebut.
Cara Menentukan Metode Terbaik untuk Memecahkan Persamaan Kuadrat
Cari faktorisasi sebelum mencoba yang lain. Jika Anda dapat menemukannya, ini adalah cara tercepat dan termudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Ingatlah bahwa Anda sedang mencari dua angka yang berjumlahbkoefisien dan kalikan untuk memberikanckoefisien. Untuk persamaan ini:
x^2 + 5x + 6 = 0
Anda dapat melihat bahwa 2 + 3 = 5 dan 2 × 3 = 6, jadi:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Danx= 2 ataux = −3.
Jika Anda tidak dapat melihat faktorisasi, periksa untuk melihat apakahbkoefisien habis dibagi 2 tanpa menggunakan pecahan. Jika ya, menyelesaikan kuadrat mungkin merupakan cara termudah untuk menyelesaikan persamaan.
Jika tidak ada pendekatan yang cocok, gunakan rumus. Ini sepertinya pendekatan yang paling sulit, tetapi jika Anda sedang dalam ujian atau terdesak waktu, itu dapat membuat prosesnya jauh lebih sedikit stres dan jauh lebih cepat.