Perbedaan antara mekanika klasik dan mekanika kuantum sangat besar. Sementara dalam mekanika klasik partikel dan benda memiliki posisi yang jelas, dalam mekanika kuantum (sebelum pengukuran) a partikel hanya dapat dikatakan memiliki kisaran posisi yang mungkin, yang dijelaskan dalam bentuk probabilitas oleh gelombang fungsi.
Persamaan Schrodinger mendefinisikan fungsi gelombang sistem mekanika kuantum, dan mempelajari cara menggunakan dan menafsirkannya adalah bagian penting dari setiap kursus dalam mekanika kuantum. Salah satu contoh paling sederhana dari solusi persamaan ini adalah untuk partikel di dalam kotak.
Fungsi Gelombang
Dalam mekanika kuantum, sebuah partikel diwakili oleh afungsi gelombang. Ini biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani psi (Ψ) dan itu tergantung pada posisi dan waktu, dan berisi segala sesuatu yang dapat diketahui tentang partikel.
Modulus fungsi kuadrat ini memberi tahu Anda probabilitas bahwa partikel akan ditemukan pada posisixpada waktuuntuk, asalkan fungsinya "dinormalisasi." Ini hanya berarti disesuaikan sehingga pasti ditemukan di
beberapaposisixpada saat ituuntukketika hasil di setiap lokasi dijumlahkan, yaitu kondisi normalisasi mengatakan bahwa:\int_{-\infty}^\infty \vertΨ\vert^2 = 1
Anda dapat menggunakan fungsi gelombang untuk menghitung nilai harapan untuk posisi partikel pada waktuuntuk, di mana nilai harapan hanya berarti nilai rata-rata yang akan Anda dapatkanxjika Anda mengulangi pengukuran beberapa kali. Tentu saja, ini tidak berarti itu akan menjadi hasil yang Anda dapatkan untuk pengukuran apa pun – yaitusecara efektifacak, meskipun beberapa lokasi biasanya jauh lebih mungkin daripada yang lain.
Ada banyak besaran lain yang dapat Anda hitung nilai ekspektasinya, seperti nilai momentum dan energi, serta banyak "yang dapat diamati" lainnya.
Persamaan Schrodinger
Persamaan Schrodinger adalah persamaan diferensial yang digunakan untuk mencari nilai fungsi gelombang dan keadaan eigen untuk energi partikel. Persamaan dapat diturunkan dari kekekalan energi dan ekspresi untuk energi kinetik dan potensial partikel. Cara paling sederhana untuk menulisnya adalah:
H(Ψ) =iℏ\frac{\partialΨ}{\partial t}
Tapi di siniHmewakiliOperator Hamilton, yang dengan sendirinya merupakan ekspresi yang cukup panjang:
H = \frac{−ℏ}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)
Sini,sayaadalah massa, adalah konstanta Planck dibagi 2π, danV (x) adalah fungsi umum untuk energi potensial sistem. Hamiltonian memiliki dua bagian yang berbeda – suku pertama adalah energi kinetik sistem dan suku kedua adalah energi potensial.
Setiap nilai yang dapat diamati dalam mekanika kuantum dikaitkan dengan operator, dan dalam versi persamaan Schrodinger yang tidak bergantung waktu, Hamiltonian adalah operator energi. Namun, dalam versi bergantung waktu yang ditunjukkan di atas, Hamiltonian menghasilkan evolusi waktu dari fungsi gelombang juga.
Menggabungkan semua informasi yang terkandung dalam persamaan, Anda dapat menggambarkan evolusi partikel dalam ruang dan waktu dan memprediksi nilai energi yang mungkin untuk itu juga.
Persamaan Schrodinger Waktu-Independen
Bagian persamaan yang bergantung waktu dapat dihilangkan – untuk menggambarkan situasi yang tidak terlalu berkembang seiring waktu – dengan memisahkan fungsi gelombang menjadi bagian ruang dan waktu:Ψ(x, untuk) = Ψ(x) f(untuk). Bagian yang bergantung waktu kemudian dapat dihilangkan dari persamaan, yang meninggalkan versi persamaan Schrodinger yang tidak bergantung waktu:
H (x) = E (Ψ (x))
Eadalah energi sistem. Ini memiliki bentuk yang tepat dari persamaan nilai eigen, denganΨ(x) menjadi fungsi eigen, danEmenjadi nilai eigen, itulah sebabnya persamaan tidak tergantung waktu sering disebut persamaan nilai eigen untuk energi sistem mekanika kuantum. Fungsi waktu secara sederhana diberikan oleh:
f (t) = e^{-iEt/ℏ}
Persamaan waktu-independen berguna karena menyederhanakan perhitungan untuk banyak situasi di mana evolusi waktu tidak terlalu penting. Ini adalah bentuk yang paling berguna untuk masalah "partikel dalam kotak" dan bahkan untuk menentukan tingkat energi elektron di sekitar atom.
Partikel dalam Kotak (Sumur Kotak Tak Terbatas)
Salah satu solusi paling sederhana untuk persamaan Schrodinger yang tidak bergantung waktu adalah untuk partikel dalam sumur persegi yang sangat dalam (yaitu sumur potensial tak terbatas), atau kotak alas satu dimensi panjangnyaL. Tentu saja, ini adalah idealisasi teoretis, tetapi ini memberikan ide dasar tentang bagaimana Anda menyelesaikan persamaan Schrodinger tanpa memperhitungkan banyak komplikasi yang ada di alam.
Dengan energi potensial diatur ke 0 di luar sumur di mana kepadatan probabilitas juga 0, persamaan Schrodinger untuk situasi ini menjadi:
\frac{−ℏ^2}{2m} \frac{d^2Ψ(x)}{dx^2} = E (x)
Dan solusi umum untuk persamaan bentuk ini adalah:
(x) = A \sin (kx) + B \cos (kx)
Namun, melihat kondisi batas dapat membantu mempersempitnya. Untukx= 0 danx= L, yaitu sisi kotak atau dinding sumur, fungsi gelombang harus nol. Fungsi kosinus memiliki nilai 1 ketika argumennya 0, jadi untuk memenuhi syarat batas, konstantaBharus sama dengan nol. Ini meninggalkan:
(x) = A \sin (kx)
Anda juga dapat menggunakan kondisi batas untuk menetapkan nilai untukk. Karena fungsi sin menjadi nol pada nilaitidak, di mana bilangan kuantumtidak= 0, 1, 2, 3… dan seterusnya, ini berarti kapanx = L, persamaan hanya akan berfungsi jikak = tidakπ / L. Akhirnya, Anda dapat menggunakan fakta bahwa fungsi gelombang harus dinormalisasi untuk menemukan nilaiSEBUAH(integrasikan semua kemungkinanxnilai, yaitu dari 0 sampaiL, dan kemudian atur hasilnya sama dengan 1 dan atur ulang), untuk sampai pada ekspresi akhir:
(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
Menggunakan persamaan asli dan hasil ini, Anda kemudian dapat memecahkanE, yang menghasilkan:
E = \frac{n^2ℎ^2}{8mL^2}
Perhatikan bahwa fakta bahwatidakdalam ungkapan ini berarti bahwa tingkat energi adalahterkuantisasi, jadi mereka tidak bisa mengambilapa sajanilai, tetapi hanya satu set diskrit nilai tingkat energi tertentu tergantung pada massa partikel dan panjang kotak.
Partikel dalam Kotak (Sumur Persegi Berhingga)
Masalah yang sama menjadi sedikit lebih rumit jika sumur potensial memiliki ketinggian dinding yang terbatas. Misalnya, jika potensiV (x) mengambil nilaiV0 di luar sumur potensial dan 0 di dalamnya, fungsi gelombang dapat ditentukan di tiga wilayah utama yang tercakup oleh masalah. Ini adalah proses yang lebih melibatkan, jadi di sini Anda hanya akan dapat melihat hasilnya daripada menjalankan seluruh proses.
Jika sumur berada dix= 0 sampaix = Llagi, untuk wilayah dimanax< 0 solusinya adalah:
(x) = Jadilah^{kx}
Untuk wilayahx > L, ini:
(x) = Ae^{-kx}
Dimana
k = \sqrt{\frac{2me}{ℏ^2}}
Untuk daerah di dalam sumur, di mana 0 <x < L, solusi umumnya adalah:
(x) = C \sin (wx) + D\cos (wx)
Dimana
w = \sqrt{\frac{-2m (E+V_0)}{ℏ^2}}
Anda kemudian dapat menggunakan kondisi batas untuk menentukan nilai konstantaSEBUAH, B, CdanD, mencatat bahwa selain memiliki nilai yang ditentukan pada dinding sumur, fungsi gelombang dan turunan pertamanya harus kontinu di mana-mana, dan fungsi gelombang harus berhingga di mana-mana.
Dalam kasus lain, seperti kotak dangkal, kotak sempit, dan banyak situasi spesifik lainnya, ada perkiraan dan solusi berbeda yang dapat Anda temukan.