Produk dari dua besaran skalar adalah skalar, dan produk dari skalar dengan vektor adalah vektor, tetapi bagaimana dengan produk dari dua vektor? Apakah itu skalar, atau vektor lain? Jawabannya, bisa jadi keduanya!
Ada dua cara untuk mengambil produk vektor. Salah satunya adalah dengan mengambil produk titik mereka, yang menghasilkan skalar, dan yang lainnya adalah dengan mengambil produk silang mereka, yang menghasilkan vektor lain. Produk mana yang digunakan tergantung pada skenario tertentu dan jumlah yang Anda coba temukan.
Perkalian silang dua vektor menghasilkan vektor ketiga yang menunjuk pada arah tegak lurus terhadap bidang yang direntang oleh dua vektor, dan yang besarnya bergantung pada tegak lurus relatif dari keduanya vektor.
Definisi Perkalian Silang Vektor
Pertama-tama kita definisikan perkalian silang dari vektor satuansaya, jdank(vektor besarnya 1 yang titik dix-, y-danz-arah komponen sistem koordinat Cartesian standar) sebagai berikut:
\bold{i\times j} = \bold{k}\\ \bold{j\times k} = \bold{i}\\ \bold{k\times i} = \bold{j}\\ \bold {i\times i} = \bold{j\times j} = \bold{k\times k} = 0
Perhatikan bahwa hubungan ini adalah anti-komutatif, yaitu, jika kita mengganti urutan vektor yang kita ambil produk dari, itu membalik tanda produk:
\bold{j\times i} = -\bold{k} \\ \bold{k\times j} = -\bold{i} \\ \bold{i\times k} = -\bold{j}
Kita dapat menggunakan definisi di atas untuk mendapatkan rumus perkalian silang dari dua vektor tiga dimensi. Pertama, tulis vektorSebuahdanbsebagai berikut:
\bold{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k} \\ \bold{b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\bold{k}
Mengalikan dua vektor, kita mendapatkan:
\bold{a\times b} = (a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k}) \times (b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\ tebal{k}) \\ = a_xb_x\bold{i\times i} + a_xb_y\bold{i\times j} + a_xb_z\bold{i\times k} \\ + a_yb_x\bold{j\times i} + a_yb_y\bold{j\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} \\ + a_zb_x\bold{k\ kali i} + a_zb_y\bold{k\times j} + a_zb_z\bold{k\kali k}
Kemudian, dengan menggunakan hubungan vektor satuan di atas, ini disederhanakan menjadi:
\bold{a\times b} = a_xb_y\bold{i\times j} - a_xb_z\bold{k\times i} - a_yb_x\bold{i\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} + a_zb_x \bold{k\kali i} - a_zb_y\bold{j\kali k}\\ = (a_xb_y - a_yb_x)\bold{i\times j} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{k\times i} + (a_yb_z - a_zb_y)\bold{j\times k}\\ = (a_yb_z - a_zb_y)\bold{ i} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\bold{k}
(Perhatikan bahwa suku-suku yang hasil kali silangnya 0, adalah suku-suku yang membentuk perkalian titik (juga disebut perkalian skalar)!Ini bukan kebetulan.)
Dengan kata lain:
\bold{a\times b} = \bold{c} = (c_x, c_y, c_z) \text{ where} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Besarnya perkalian silang dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras.
Rumus perkalian silang juga dapat dinyatakan sebagai determinan dari matriks berikut:
\bold{a\times b} = \Bigg|\begin{matrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end {matriks}\Bigg| \\ = \Besar|\begin{matriks}a_y & a_z \\b_y & b_z\end{matriks}\Besar|\bold{i} -\Besar|\begin{matriks}a_x & a_z\\b_x & b_z\end{matriks}\Besar|\bold{j} + \Besar|\begin {matriks} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{matriks}\Besar|\bold{k}
\text{Dimana determinannya } \Big|\begin{matriks} a & b \\ c & d \end{matriks}\Big| = iklan - bc
Formulasi produk silang lainnya, yang seringkali sangat nyaman, adalah (lihat akhir artikel ini untuk mengetahui turunannya):
\bold{a × b} = |\bold{a}| |\bold{b}| \sin (θ) \bold{n}
Dimana:
- |Sebuah| adalah besar (panjang) vektorSebuah
- |b| adalah besar (panjang) vektorb
- adalah sudut antara Sebuahdan b
- tidakadalah vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentang oleh Sebuahdanb
Vektor Tegak Lurus dan Aturan Tangan Kanan
Pada uraian perkalian silang dinyatakan bahwa arah perkalian silang tegak lurus terhadap bidang yang direntang oleh vektorSebuahdan vektorb. Tapi ini menyisakan dua kemungkinan: Ini mungkin menunjukkandaripesawat ataukebidang yang direntang oleh vektor-vektor tersebut. Kenyataannya, kita sebenarnya bisa memilih salah satunya selama kita konsisten. Arah favorit yang dipilih oleh matematikawan dan ilmuwan, bagaimanapun, ditentukan oleh sesuatu yang disebutaturan tangan kanan.
Untuk menentukan arah perkalian silang vektor menggunakan aturan tangan kanan, arahkan jari telunjuk tangan kanan ke arah vektorSebuahdan jari tengah Anda ke arah vektorb. Ibu jari Anda kemudian menunjuk ke arah vektor perkalian silang.
Terkadang arah ini sulit untuk digambarkan pada selembar kertas datar, sehingga sering kali dibuat konvensi berikut:
Untuk menunjukkan vektor yang masuk ke halaman, kami menggambar lingkaran dengan X di dalamnya (anggap ini mewakili bulu ekor di ujung panah saat Anda melihatnya dari belakang). Untuk menunjukkan vektor yang bergerak ke arah yang berlawanan dari halaman, kami menggambar lingkaran dengan titik di dalamnya (anggap ini sebagai ujung panah yang menunjuk ke luar halaman).
•••tidak
Sifat Produk Silang
Berikut ini adalah beberapa sifat perkalian silang vektor:
\\#\teks{1. Jika } \bold{a} \text{ dan } \bold{b} \text{ sejajar, maka } \bold{a\times b} = 0
\\#\teks{2. }\bold{a\times b} = -\bold{b\times a}
\\#\teks{3. }\bold{a\times (b + c)} = \bold{a\times b} + \bold{a\times c}
\#\teks{4. }(c\bold{a)\times b} = c(\bold{a\times b})
\\#\teks{5. }\bold{a\cdot (b\times c}) = \bold{(a\times b)\cdot c}
\text{Di mana }\bold{a\cdot (b\times c}) =\Bigg|\begin{matrix} a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z\end{matriks }\Besar|
Interpretasi Geometris dari Produk Silang
Ketika perkalian silang vektor dirumuskan dalam sin (θ), besarnya dapat diartikan sebagai luas jajar genjang yang direntang oleh dua vektor. Ini karena untuka × b, |b|sin (θ) = tinggi jajaran genjang, seperti yang ditunjukkan, dan |Sebuah| adalah dasar.
•••Dan Chen | Sains
Besarnya perkalian tiga vektora (b × c) pada gilirannya dapat ditafsirkan sebagai volume paralelepiped yang direntang oleh vektorSebuah, bdanc. Hal ini karena(b × c) memberikan vektor yang besarnya adalah luas yang direntang oleh vektorbdan vektorc, dan arahnya tegak lurus terhadap luas tersebut. Mengambil produk titik dari vektorSebuahdengan hasil ini, pada dasarnya mengalikan luas alas kali tinggi.
Contoh
Contoh 1:Gaya pada partikel muatanqbergerak dengan kecepatanvdalam medan magnetBdiberikan oleh:
\bold{F} = q\bold{v\times B}
Misalkan sebuah elektron melewati medan magnet 0,005 T dengan kecepatan 2 × 107 MS. Jika melewati medan secara tegak lurus, maka gaya yang akan dirasakan adalah:
\bold{F} = q\bold{v\times B} = qvB\sin(\theta)\bold{n} = (-1,602\times 10^{19})(2\times 10^7)(0,005 )\sin (90)\bold{n} =-1,602\times 10^{-14}\text{ N}\bold{n}
Namun, jika elektron berjalan sejajar dengan medan, maka = 0, dan sin (0) = 0, menjadikan gaya 0.
Perhatikan bahwa untuk elektron yang melewati medan secara tegak lurus, gaya ini akan menyebabkan elektron bergerak dalam lintasan melingkar. Jari-jari jalur melingkar ini dapat ditemukan dengan mengatur gaya magnet sama dengan gaya sentripetal dan menyelesaikan jari-jarir:
F_{mag} = qvB\sin (90) = qvB = \frac{mv^2}{r} = F_{sen}\\ \menyiratkan r = \frac{mv}{qB}
Untuk contoh di atas, memasukkan angka menghasilkan radius sekitar 0,0227 m.
Contoh 2:Torsi kuantitas fisik juga dihitung menggunakan perkalian silang vektor. Jika suatu kekuatanFditerapkan pada objek pada posisirdari titik pivot, torsiτtentang titik pivot diberikan oleh:
\bold{\tau} = \bold{r\times F}
Pertimbangkan situasi di mana gaya 7 N diterapkan pada sudut ke ujung batang 0,75 yang ujung lainnya menempel pada poros. Sudut antarardanFadalah 70 derajat, sehingga torsi dapat dihitung:
\bold{\tau} = \bold{r\times F} = rF\sin(\theta) = (0,75)(7)\sin (70)\bold{n} = 4,93 \text{Nm }\bold{ n}
Arah torsi,tidak, ditemukan melalui aturan tangan kanan. Jika diterapkan pada gambar di atas, ini memberikan arah keluar dari halaman atau layar. Secara umum, torsi yang diterapkan pada suatu objek akan menyebabkan objek berputar. Vektor torsi akan selalu terletak pada arah yang sama dengan sumbu rotasi.
Sebenarnya, aturan tangan kanan yang disederhanakan dapat digunakan dalam situasi ini: Gunakan tangan kanan Anda untuk "mengambil" sumbu rotasi di sedemikian rupa sehingga jari-jari Anda melengkung ke arah torsi terkait yang diinginkan untuk menyebabkan objek berputar. Ibu jari Anda kemudian menunjuk ke arah vektor torsi.
Turunan Rumus Produk Silang
\text{Di sini kita akan menunjukkan bagaimana rumus perkalian silang } \bold{a × b} = |\bold{a}| |\bold{b}| \sin (θ) \bold{n} \text{ dapat diturunkan.}
Pertimbangkan dua vektorSebuahdanbdengan sudutθdiantara mereka. Segitiga siku-siku dapat dibentuk dengan menggambar garis dari ujung vektorSebuahke titik kontak tegak lurus pada vektorb.
Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita mendapatkan hubungan berikut:
\Besar|\Besar(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Besar)\bold{b}\Besar|^2 + (|\bold{a} |\sin(\theta))^2 = |\bold{a}|^2
\text{Di mana }\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b} \text{ adalah proyeksi vektor } \bold {a} \teks{ ke vektor } \bold{b}.
Menyederhanakan ekspresi sedikit, kita mendapatkan yang berikut:
\frac{|\bold{a\cdot b}|^2}{|\bold{b}|^2} + |\bold{a}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{ a}|^2
Selanjutnya, kalikan kedua ruas persamaan dengan |b|2 dan pindahkan suku pertama ke ruas kanan untuk mendapatkan:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{ a\cdot b}|^2
Bekerja dengan sisi kanan, kalikan semuanya dan kemudian sederhanakan:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{a\cdot b}|^2 = [(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2 ][(b_x)^2 + (b_y)^2 + (b_z)^2]\\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z)(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y)^2 + (a_xb_z)^ 2 + (a_yb_x)^2 + (a_yb_z)^2 + (a_zb_x)^2 + a_zb_y)^2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_zb_z) +z_zb_z (a_xb_y - a_yb_x)^2\\ = |\bold{a\times b}|^2
Menetapkan hasilnya sama dengan sisi kiri dari persamaan sebelumnya, kita mendapatkan hubungan berikut:
|\bold{a\times b}| = |\bold{a}||\bold{b}||\sin(\theta)|
Ini menunjukkan kepada kita bahwa besarnya sama dalam rumus, jadi hal terakhir yang harus dilakukan untuk membuktikan rumus adalah menunjukkan bahwa arahnya juga sama. Ini dapat dilakukan hanya dengan mengambil produk titik dariSebuahdengana × bdanbdengana × bdan menunjukkan mereka 0, menyiratkan bahwa arah directiona × b tegak lurus terhadap keduanya.
