Produk dari dua besaran skalar adalah skalar, dan produk dari skalar dengan vektor adalah vektor, tetapi bagaimana dengan produk dari dua vektor? Apakah itu skalar, atau vektor lain? Jawabannya, bisa jadi keduanya!
Ada dua cara untuk mengalikan vektor bersama-sama. Salah satunya adalah dengan mengambil produk titik mereka, yang menghasilkan skalar, dan yang lainnya adalah dengan mengambil produk silang mereka, yang menghasilkan vektor lain. Produk mana yang akan digunakan tergantung pada skenario tertentu dan jumlah yang Anda coba temukan.
Ituproduk titikkadang-kadang disebut sebagaiproduk skalaratauproduk dalam. Secara geometris, Anda dapat menganggap produk titik antara dua vektor sebagai cara mengalikan nilai vektor yang hanya menghitung kontribusi arah yang sama.
- Catatan: Produk titik mungkin negatif atau positif, tetapi tanda itu bukan indikasi arah. Meskipun dalam satu dimensi, arah vektor sering ditunjukkan dengan tanda, besaran skalar juga dapat memiliki tanda yang terkait dengannya yang bukan merupakan indikator arah. Utang hanyalah salah satu dari banyak contoh ini.
Definisi Produk Titik
Hasil kali titik dari vektorSebuah = (ax, Sebuahkamu)danb = (bx, bkamu)dalam sistem koordinat Cartesian standar didefinisikan sebagai berikut:
\bold{a\cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Ketika Anda mengambil produk titik dari vektor dengan dirinya sendiri, hubungan yang menarik muncul:
\bold{a\cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = |\bold{a}|^2
Dimana |Sebuah| adalah besar (panjang) dariSebuahdengan teorema Pythagoras.
Rumus produk titik lain dapat diturunkan menggunakan hukum kosinus. Ini dilakukan sebagai berikut:
Pertimbangkan vektor bukan nolSebuahdanbbersama-sama dengan vektor perbedaannyaa - b. Susun ketiga vektor tersebut hingga membentuk segitiga.
Hukum kosinus dari trigonometri memberi tahu kita bahwa:
|\bold{ab}|^2 = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta )
Dan menggunakan definisi produk titik kita mendapatkan:
|\bold{ab}|^2 = (\bold{ab})\cdot (\bold{ab}) = (a_x-b_X)^2 + (a_y-b_y)^2\\ = (a_x)^2 + (b_x)^2 - 2a_xb_x + (a_y)^2 + (b_y)^2 - 2a_yb_y\\ = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2\bold{a \cdot b}
Mengatur kedua ekspresi sama dan kemudian menyederhanakan, kita mendapatkan:
\batal{|\bold{a}|^2} + \batal{|\bold{b}|^2} - 2\bold{a \cdot b} = \batal{|\bold{a}|^2 } + \batal{|\bold{b}|^2} - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\text{ }\\\menyiratkan \boxed{\bold{a \cdot b} = |\bold{a} ||\bold{b}|\cos(\theta)}
Formulasi ini memungkinkan intuisi geometris kita ikut bermain. kuantitas |Sebuah|cos (θ) adalah besaran proyeksi vektorSebuahke vektorb.
Jadi kita dapat menganggap produk titik sebagai proyeksi satu vektor ke vektor lainnya, dan kemudian produk dari nilai-nilainya. Dengan kata lain, dapat dilihat sebagai produk dari satu vektor dengan jumlah vektor lain dalam arah yang sama dengan dirinya sendiri.
Properti Produk Dot
Berikut ini adalah beberapa properti produk titik yang mungkin berguna bagi Anda:
\\#\teks{1. Jika } \theta = 0\text{, maka } \bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|
Karena cos (0) = 1.
\\#\teks{2. Jika } \theta = 180\text{, maka }\bold{a \cdot b} = -|\bold{a}||\bold{b}|
Ini karena cos (180) = -1.
\\#\teks{3. Jika } \theta = 90\text{, maka } \bold{a \cdot b} = 0
Ini karena cos (90) = 0.
- Catatan: Untuk 0 <
θ
< 90, hasil kali titik akan positif, dan untuk 90 <
θ
< 180, hasil kali titik akan negatif.
\#\teks{4. } \bold{a\cdot b} = \bold{b\cdot a}
Ini mengikuti dari penerapan hukum komutatif ke definisi produk titik.
\\#\teks{5. } \bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
Bukti:
\bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a}\cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ =a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y)\\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y)\\ = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
\\#\teks{6. } c(\bold{a\cdot b}) = (c\bold{a})\cdot \bold{b}
Bukti:
c(\bold{a\cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y)\\ = ca_xb_x + ca_yb_y\\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y\\ = (c\bold{a})\cdot \ tebal{b}
Cara Menemukan Produk Dot
Contoh 1:Dalam fisika, usaha yang dilakukan oleh suatu gayaFpada suatu benda yang mengalami perpindahand, didefinisikan sebagai:
W=\bold{F}\cdot \bold{d} = |\bold{F}||\bold{d}|\cos(\theta)
Dimana adalah sudut antara vektor gaya dan vektor perpindahan.
Besarnya usaha yang dilakukan oleh suatu gaya merupakan indikasi seberapa besar kontribusi gaya tersebut terhadap perpindahan. Jika gaya searah dengan perpindahan (cos (θ) = 0), gaya tersebut memberikan kontribusi maksimum. tegak lurus terhadap perpindahan (cos(Ѳ) = 90), tidak memberikan kontribusi sama sekali. Dan jika berlawanan dengan perpindahan, (cos (θ) = 180), memberikan kontribusi negatif.
Misalkan seorang anak mendorong kereta mainan melintasi lintasan dengan menerapkan gaya 5 N pada sudut 25 derajat terhadap garis lintasan. Berapa usaha yang dilakukan anak tersebut pada kereta api ketika dia memindahkannya 0,5 m?
Larutan:
F = 5 \text{ N}\\ d = 0,5\text{ m}\\ \theta = 25\degree\\
Menggunakan definisi dot product dari pekerjaan, dan memasukkan nilai-nilai, kita kemudian mendapatkan:
W = Fd\cos(\theta) = 5\times0.5\times\cos (25) = \kotak{2.27\text{ J}}
Dari contoh konkret ini, harus lebih jelas lagi bahwa menerapkan gaya yang tegak lurus terhadap arah perpindahan tidak akan berhasil. Jika anak mendorong kereta pada sudut yang tepat ke rel, kereta tidak akan bergerak maju atau mundur di sepanjang rel. Hal ini juga intuitif bahwa pekerjaan yang dilakukan oleh anak di kereta akan meningkat sebagai sudut berkurang dan gaya dan perpindahan lebih dekat ke keselarasan.
Contoh 2:Daya adalah contoh lain dari kuantitas fisik yang dapat dihitung menggunakan produk titik. Dalam fisika, daya sama dengan usaha dibagi waktu, tetapi dapat juga ditulis sebagai hasil kali titik gaya dan kecepatan seperti yang ditunjukkan:
P = \frac{W}{t} = \frac{\bold{F\cdot d}}{t} = \bold{F}\cdot \frac{\bold{d}}{t} = \bold{ F\cdot v}
Dimanavadalah kecepatan.
Perhatikan contoh anak sebelumnya yang bermain dengan kereta api. Jika sebaliknya kita diberitahu bahwa gaya yang sama diterapkan yang menyebabkan kereta bergerak dengan kecepatan 2 m/s ke bawah lintasan, maka kita dapat menggunakan produk titik untuk menemukan daya:
P = \bold{F\cdot v} = Fv\cos(\theta) = 5\times2\times\cos (25) = 9,06\text{ Watts}
Contoh 3:Contoh lain di mana produk titik digunakan dalam fisika adalah dalam kasus fluks magnet. Fluks magnet adalah jumlah medan magnet yang melewati area tertentu. Itu ditemukan sebagai produk titik dari medan magnet magneticBdengan daerahSEBUAH. (Arah vektor luas adalahnormal, atau tegak lurus, terhadap permukaan luas.)
\Phi=\bold{B\cdot A}
Misalkan sebuah bidang 0,02 Tesla melewati lingkaran kawat dengan jari-jari 10 cm, membuat sudut 30 derajat dengan normal. Apa itu fluks?
\Phi=\bold{B\cdot A} = BA\cos(\theta) = 0,02\times(\pi\times0.1^2)\times\cos (30) = 0,000544\text{ Wb}
Ketika fluks ini berubah, baik dengan mengubah nilai bidang, mengubah area loop, atau mengubah sudut dengan memutar loop atau sumber medan, arus akan diinduksi dalam loop, menghasilkan listrik!
Sekali lagi perhatikan bagaimana sudutnya relevan secara intuitif. Jika sudutnya 90 derajat, ini berarti medan akan terletak di sepanjang bidang yang sama dengan luas dan tidak ada garis medan yang melewati loop, sehingga tidak ada fluks. Besarnya fluks kemudian meningkat semakin dekat sudut antara medan dan garis normal menjadi 0. Perkalian titik memungkinkan kita untuk menentukan seberapa besar medan dalam arah normal ke permukaan, dan karenanya berkontribusi pada fluks.
Proyeksi Vektor dan Produk Titik
Pada bagian sebelumnya, disebutkan bahwa produk titik dapat dianggap sebagai cara memproyeksikan satu vektor ke vektor lain dan kemudian mengalikan besarnya. Dengan demikian, tidak mengherankan bahwa rumus untuk proyeksi vektor dapat diturunkan dari produk titik.
Untuk memproyeksikan vektorSebuahke vektorb, kita ambil hasil kali titik dariSebuahdenganvektor satuanke arahb, dan kemudian kalikan hasil skalar ini dengan vektor satuan yang sama.
Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1 yang terletak pada arah tertentu. Vektor satuan dalam arah vektorbhanyalah vektorbdibagi dengan besarnya:
\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|}
Jadi proyeksi ini adalah:
\text{Proyeksi }\bold{a}\text{ ke }\bold{b} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} \Big)\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|^ 2}\Besar)\bold{b}
Produk Titik dalam Dimensi Lebih Tinggi
Sama seperti vektor yang ada di dimensi yang lebih tinggi, demikian juga produk titik. Bayangkan contoh anak mendorong kereta lagi. Misalkan dia mendorong ke bawah dan pada sudut ke sisi trek. Dalam sistem koordinat standar, vektor gaya dan perpindahan perlu direpresentasikan sebagai tiga dimensi.
Ditidakdimensi, produk titik didefinisikan sebagai berikut:
\bold{a\cdot b} = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n
Semua sifat produk titik yang sama dari sebelumnya masih berlaku, dan hukum kosinus sekali lagi memberikan hubungan:
\bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)
Dimana besarnya setiap vektor ditemukan melalui berikut ini, sekali lagi konsisten dengan teorema Pythagoras:
|\bold{a}|=\sqrt{\bold{a\cdot a}}=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}
Cara Menemukan Produk Titik dalam Tiga Dimensi
Contoh 1:Produk titik sangat berguna ketika perlu menemukan sudut antara dua vektor. Sebagai contoh, misalkan kita ingin menentukan sudut antaraSebuah= (2, 3, 2) danb= (1, 4, 0). Bahkan jika Anda membuat sketsa kedua vektor itu dalam 3-ruang, akan sangat sulit untuk membungkus kepala Anda di sekitar geometri. Tetapi matematikanya cukup mudah, menggunakan fakta bahwa:
\bold{a \cdot b}=|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\implies \theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\ tebal{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Besar)
Kemudian hitung hasil kali titik dariSebuahdanb:
\bold{a\cdot b}=2\times1+3\times4+2\times0=14
Dan menghitung besaran masing-masing vektor:
|\bold{a}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}=4.12\\|\bold{b}|=\sqrt{1^2+4^ 2+0^2}=\sqrt{17}=4.12
Dan akhirnya memasukkan semuanya, kita mendapatkan:
\theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)=\cos^{- 1}\Besar(\frac{14}{4.12\times 4.12}\Big)=\kotak{34.4\degree}
Contoh 2:Muatan positif berada pada titik koordinat (3, 5, 4) dalam ruang tiga dimensi. Di titik mana di sepanjang garis yang menunjuk ke arah vektorSebuah= (6, 9, 5) apakah medan listrik terbesar?
Solusi: Dari pengetahuan kita tentang hubungan kuat medan listrik dengan jarak, kita tahu bahwa titik know pada garis yang paling dekat dengan muatan positif adalah lokasi di mana medan akan menjadi terkuat. Dari pengetahuan kami tentang produk titik, kami mungkin menebak bahwa menggunakan rumus proyeksi masuk akal di sini. Rumus itu seharusnya memberi kita sebuah vektor yang ujungnya tepat pada titik yang kita cari.
Kita perlu menghitung:
\text{Proyeksi }(3, 5, 4)\text{ ke }\bold{a}=\Big((3,5,4)\cdot\frac{\bold{a}}{|\bold{ a}|^2}\Besar)\bold{a}
Untuk melakukannya, pertama, mari temukan |Sebuah|2:
|\bold{a}|^2=6^2+9^2+5^2=142
Maka produk titik:
(3,5,4)\cdot (6,9,5)=3\times6+5\times9+4\times5=83
Bagi ini dengan |Sebuah|2 memberikan 83/142 = 0,585. Kemudian kalikan skalar ini denganSebuahmemberikan:
0,585\bold{a}=0,855 \times (6,9,5)=(3.51,5.27,2.93)
Oleh karena itu titik di sepanjang garis di mana medannya paling kuat adalah (3.51, 5.27, 2.93).