Persamaan Schrodinger adalah persamaan paling mendasar dalam mekanika kuantum, dan mempelajari cara menggunakannya dan artinya sangat penting bagi fisikawan pemula. Persamaan ini dinamai Erwin Schrödinger, yang memenangkan Hadiah Nobel bersama dengan Paul Dirac pada tahun 1933 untuk kontribusi mereka pada fisika kuantum.
Persamaan Schrodinger menggambarkan fungsi gelombang dari sistem mekanika kuantum, yang memberikan: informasi probabilistik tentang lokasi partikel dan besaran lain yang dapat diamati seperti momentum. Hal terpenting yang akan Anda sadari tentang mekanika kuantum setelah mempelajari persamaan adalah bahwa hukum di alam kuantum adalahsangat berbedadari mekanika klasik.
Fungsi Gelombang
Fungsi gelombang adalah salah satu konsep terpenting dalam mekanika kuantum, karena setiap partikel diwakili oleh fungsi gelombang. Biasanya diberi huruf Yunani psi (Ψ), dan itu tergantung pada posisi dan waktu. Ketika Anda memiliki ekspresi untuk fungsi gelombang sebuah partikel, itu memberi tahu Anda segala sesuatu yang dapat diketahui tentang sistem fisik, dan nilai yang berbeda untuk besaran yang dapat diamati dapat diperoleh dengan menerapkan operator ke saya t.
Kuadrat modulus fungsi gelombang memberi tahu Anda peluang menemukan partikel pada suatu posisixpada waktu tertentuuntuk. Ini hanya terjadi jika fungsinya "dinormalisasi," yang berarti jumlah modulus kuadrat di semua lokasi yang mungkin harus sama dengan 1, yaitu partikelnyatertentuuntuk ditempatkandi suatu tempat.
Perhatikan bahwa fungsi gelombang hanya memberikan informasi probabilistik, sehingga Anda tidak dapat memprediksi hasil dari satu pengamatan, meskipun Andabisatentukan rata-rata dari banyak pengukuran.
Anda dapat menggunakan fungsi gelombang untuk menghitung“nilai harapan”untuk posisi partikel pada waktuuntuk, dengan nilai harapan menjadi nilai rata-rata darixAnda akan mendapatkan jika Anda mengulangi pengukuran berkali-kali.
Sekali lagi, ini tidak memberi tahu Anda apa pun tentang pengukuran tertentu. Faktanya, fungsi gelombang lebih merupakan distribusi probabilitas untuk satu partikel daripada apa pun yang konkret dan andal. Dengan menggunakan operator yang sesuai, Anda juga dapat memperoleh nilai harapan untuk momentum, energi, dan besaran lain yang dapat diamati.
Persamaan Schrodinger
Persamaan Schrodinger adalah persamaan diferensial parsial linier yang menggambarkan evolusi a keadaan kuantum dengan cara yang mirip dengan hukum Newton (khususnya hukum kedua) dalam klasik mekanika.
Namun, persamaan Schrodinger adalah persamaan gelombang untuk fungsi gelombang partikel yang bersangkutan, sehingga penggunaan persamaan untuk memprediksi keadaan masa depan dari suatu sistem kadang-kadang disebut "mekanika gelombang." Persamaan itu sendiri berasal dari kekekalan energi dan dibangun di sekitar operator yang disebut Hamilton.
Bentuk persamaan Schrodinger yang paling sederhana untuk dituliskan adalah:
H = iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
Dimana adalah konstanta Planck tereduksi (yaitu konstanta dibagi 2π) danHadalah operator Hamilton, yang sesuai dengan jumlah energi potensial dan energi kinetik (energi total) dari sistem kuantum. Namun, Hamiltonian adalah ekspresi yang cukup panjang, sehingga persamaan lengkapnya dapat ditulis sebagai:
\frac{ ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) == iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
Perhatikan bahwa kadang-kadang (untuk masalah tiga dimensi eksplisit), turunan parsial pertama ditulis sebagai operator Laplacian2. Pada dasarnya, Hamiltonian bekerja pada fungsi gelombang untuk menggambarkan evolusinya dalam ruang dan waktu. Tetapi dalam versi persamaan waktu-independen (yaitu ketika sistem tidak bergantung padauntuk), Hamiltonian memberikan energi sistem.
Memecahkan persamaan Schrodinger berarti menemukanfungsi gelombang mekanika kuantumyang memenuhinya untuk situasi tertentu.
Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu
Persamaan Schrodinger yang bergantung waktu adalah versi dari bagian sebelumnya, dan ini menjelaskan evolusi fungsi gelombang untuk partikel dalam ruang dan waktu. Kasus sederhana yang perlu dipertimbangkan adalah partikel bebas karena energi potensialV= 0, dan solusinya berbentuk gelombang datar. Solusi ini memiliki bentuk:
= Ae^{kx t}
Dimanak = 2π / λ, λadalah panjang gelombang, danω = E / ℏ.
Untuk situasi lain, bagian energi potensial dari persamaan asli menggambarkan kondisi batas untuk bagian spasial dari fungsi gelombang, dan sering dipisahkan menjadi fungsi evolusi waktu dan waktu-independen persamaan.
Persamaan Schrodinger yang tidak bergantung waktu
Untuk situasi atau solusi statis yang membentuk gelombang berdiri (seperti sumur potensial, solusi gaya "partikel dalam kotak"), Anda dapat memisahkan fungsi gelombang menjadi bagian waktu dan ruang:
(x, t) = (x) f (t)
Ketika Anda melewati ini secara penuh, porsi waktu dapat dibatalkan, meninggalkan bentuk persamaan Schrodinger yanghanyatergantung pada posisi partikel. Fungsi gelombang bebas waktu kemudian diberikan oleh:
H (x) = E (x)
SiniEadalah energi sistem mekanika kuantum, danHadalah operator Hamilton. Bentuk persamaan ini mengambil bentuk yang tepat dari persamaan nilai eigen, dengan fungsi gelombang menjadi fungsi eigen, dan energi menjadi nilai eigen ketika operator Hamilton diterapkan untuk itu. Memperluas Hamiltonian ke dalam bentuk yang lebih eksplisit, dapat ditulis secara lengkap sebagai:
\frac{ ^2}{2m} \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + V(x) = E (x)
Bagian waktu dari persamaan terkandung dalam fungsi:
f (t) = e^{\frac{iEt}{ℏ}}
Solusi untuk Persamaan Schrodinger Waktu-Independen
Persamaan Schrodinger yang tidak bergantung waktu cocok untuk solusi yang cukup mudah karena memangkas bentuk penuh persamaan. Contoh sempurna dari hal ini adalah kelompok solusi "partikel dalam kotak" di mana partikel diasumsikan berada dalam sumur potensial kuadrat tak terbatas dalam satu dimensi, jadi ada potensial nol (mis.V= 0) di seluruh, dan tidak ada kemungkinan partikel ditemukan di luar sumur.
Ada juga sumur persegi berhingga, di mana potensi di "dinding" sumur tidak terbatas dan bahkan jika itu lebih tinggi dari energi partikel, adabeberapakemungkinan menemukan partikel di luarnya karena terowongan kuantum. Untuk sumur potensial tak terbatas, solusinya berbentuk:
(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
DimanaLadalah panjang sumur.
Potensial fungsi delta adalah konsep yang sangat mirip dengan sumur potensial, kecuali dengan lebarLmenuju nol (yaitu sangat kecil di sekitar satu titik) dan kedalaman sumur menuju tak terhingga, sedangkan produk dari keduanya (kamu0) tetap konstan. Dalam situasi yang sangat ideal ini, hanya ada satu keadaan terikat, yang diberikan oleh:
(x) = \frac{\sqrt{mU_0}}{ℏ}e^{-\frac{mU_0}{ℏ^2}\vert x\vert}
Dengan energi:
E = - \frac{mU_0^2}{2ℏ^2}
Solusi Atom Hidrogen untuk Persamaan Schrodinger
Akhirnya, solusi atom hidrogen memiliki aplikasi yang jelas untuk fisika dunia nyata, tetapi dalam praktiknya situasinya untuk elektron di sekitar inti atom hidrogen dapat dilihat sangat mirip dengan sumur potensial masalah. Namun, situasinya tiga dimensi dan paling baik dijelaskan dalam koordinat bolar, θ, ϕ. Solusi dalam hal ini diberikan oleh:
(x) = NR_{n, l}(r) P^m_{l}(\cos )e^{imϕ}
DimanaPadalah polinomial Legendre,Radalah solusi radial spesifik, dantidakadalah konstanta yang Anda perbaiki menggunakan fakta bahwa fungsi gelombang harus dinormalisasi. Persamaan menghasilkan tingkat energi yang diberikan oleh:
E = - \frac{\mu Z^2e^4}{8ϵ_0h^2n^2}
DimanaZdi sini adalah nomor atom (jadiZ= 1 untuk atom hidrogen),edalam hal ini adalah muatan elektron (bukan konstantae = 2.7182818...), ϵ0 adalah permitivitas ruang bebas, danμadalah massa tereduksi, yang didasarkan pada massa proton dan elektron dalam atom hidrogen. Ungkapan ini baik untuk setiap atom mirip hidrogen, yang berarti setiap situasi (termasuk ion) di mana ada satu elektron yang mengorbit inti pusat.