Entah itu skater es yang menarik lengannya dan berputar lebih cepat seperti yang dia lakukan atau kucing yang mengendalikan seberapa cepat ia berputar selama jatuh untuk memastikan ia mendarat di kakinya, konsep momen inersia sangat penting untuk fisika rotasi gerakan.
Atau dikenal sebagai inersia rotasi, momen inersia adalah analog rotasi massa dalam kedua hukum gerak Newton, menggambarkan kecenderungan suatu benda untuk menolak percepatan sudut.
Konsepnya mungkin tidak terlalu menarik pada awalnya, tetapi dikombinasikan dengan hukum kekekalan sudut momentum, dapat digunakan untuk menggambarkan banyak fenomena fisik yang menarik dan memprediksi gerakan dalam berbagai situasi.
Definisi Momen Inersia
Momen inersia suatu benda menggambarkan ketahanannya terhadap percepatan sudut, dengan memperhitungkan distribusi massa di sekitar sumbu rotasinya.
Ini pada dasarnya mengkuantifikasi betapa sulitnya mengubah kecepatan rotasi objek, apakah itu berarti memulai rotasi, menghentikannya, atau mengubah kecepatan objek yang sudah berputar.
Ini kadang-kadang disebut inersia rotasi, dan berguna untuk menganggapnya sebagai analog massa dalam hukum kedua Newton:Fbersih = ibu. Di sini, massa suatu objek sering disebut massa inersia, dan ini menggambarkan resistensi objek terhadap gerakan (linier). Inersia rotasi bekerja seperti ini untuk gerak rotasi, dan definisi matematika selalu mencakup massa.
Persamaan yang setara dengan hukum kedua untuk gerak rotasi berhubungan rotationtorsi (τ, analog gaya rotasi) dengan percepatan sudutαdan momen inersiasaya:
\tau =Saya\alfa
Objek yang sama dapat memiliki beberapa momen inersia, karena meskipun sebagian besar definisi adalah tentang distribusi massa, ia juga menjelaskan lokasi sumbu rotasi.
Misalnya, momen inersia untuk batang yang berputar di sekitar pusatnya adalahsaya = ML2/12 (di manasayaadalah massa danLadalah panjang batang), batang yang sama yang berputar pada salah satu ujungnya memiliki momen inersia yang diberikan olehsaya = ML2/3.
Persamaan untuk Momen Inersia
Jadi momen inersia benda bergantung pada massanyasaya, radiusnyaRdan sumbu rotasinya.
Dalam beberapa kasus,Rdisebut sebagaid, untuk jarak dari sumbu rotasi, dan yang lainnya (seperti batang di bagian sebelumnya) diganti dengan panjang,L. Simbolsayadigunakan untuk momen inersia, dan memiliki satuan kg m2.
Seperti yang Anda harapkan berdasarkan apa yang telah Anda pelajari sejauh ini, ada banyak persamaan yang berbeda untuk momen inersia, dan masing-masing mengacu pada bentuk tertentu dan sumbu rotasi tertentu. Dalam semua momen inersia, istilahBAPAK2 muncul, meskipun untuk bentuk yang berbeda ada pecahan yang berbeda di depan istilah ini, dan dalam beberapa kasus mungkin ada beberapa istilah yang dijumlahkan.
ItuBAPAK2 komponen adalah momen inersia untuk massa titik pada jarakRdari sumbu rotasi, dan persamaan untuk benda tegar tertentu dibangun sebagai jumlah massa titik, atau dengan mengintegrasikan sejumlah massa titik kecil yang tak terbatas di atas objek.
Sementara dalam beberapa kasus mungkin berguna untuk menurunkan momen inersia suatu benda berdasarkan jumlah aritmatika sederhana dari massa titik atau dengan mengintegrasikan, dalam praktiknya ada banyak hasil untuk bentuk umum dan sumbu rotasi yang dapat Anda gunakan tanpa perlu menurunkannya pertama:
Silinder padat (sumbu simetri):
I = \frac{1}{2} MR^2
Silinder padat (sumbu diameter tengah, atau diameter penampang melingkar di tengah silinder):
I = \frac{1}{4} MR^2+\frac{1}{12} ML^2
Bola padat (sumbu tengah):
I = \frac{2}{5} MR^2
Cangkang bulat tipis (sumbu tengah):
I = \frac{2}{3} MR^2
Lingkaran (sumbu simetri, yaitu tegak lurus melalui pusat):
saya = MR^2
Lingkaran (sumbu diameter, yaitu, melintasi diameter lingkaran yang dibentuk oleh lingkaran):
I = \frac{1}{2} MR^2
Batang (sumbu tengah, tegak lurus dengan panjang batang):
I = \frac{1}{12} ML^2
Batang (berputar di ujung):
I = \frac{1}{3} ML^2
Inersia Rotasi dan Sumbu Rotasi
Memahami mengapa ada persamaan yang berbeda untuk setiap sumbu rotasi adalah langkah kunci untuk memahami konsep momen inersia.
Pikirkan tentang pensil: Anda dapat memutarnya dengan memutarnya di tengah, di ujungnya, atau dengan memutarnya di sekitar poros tengahnya. Karena inersia rotasi suatu benda bergantung pada distribusi massa terhadap sumbu rotasi, masing-masing situasi ini berbeda dan memerlukan persamaan terpisah untuk menggambarkannya.
Anda bisa mendapatkan pemahaman naluriah tentang konsep momen inersia jika Anda mengukur argumen yang sama ini hingga tiang bendera 30 kaki.
Memutarnya dari ujung ke ujung akan sangat sulit – jika Anda bisa mengaturnya sama sekali – sedangkan memutar tiang pada poros tengahnya akan jauh lebih mudah. Ini karena torsi sangat bergantung pada jarak dari sumbu rotasi, dan pada 30-kaki contoh tiang bendera, memutarnya ujung ke ujung melibatkan setiap ujung ekstrem sejauh 15 kaki dari sumbuaxis rotasi.
Namun, jika Anda memutarnya di sekitar sumbu tengah, semuanya cukup dekat dengan sumbu. Situasinya seperti membawa benda berat sejauh lengan vs. memegangnya dekat dengan tubuh Anda, atau mengoperasikan tuas dari ujung vs. dekat dengan titik tumpu.
Inilah sebabnya mengapa Anda memerlukan persamaan yang berbeda untuk menggambarkan momen inersia untuk objek yang sama tergantung pada sumbu rotasi. Sumbu yang Anda pilih mempengaruhi seberapa jauh bagian tubuh dari sumbu rotasi, meskipun massa tubuh tetap sama.
Menggunakan Persamaan untuk Momen Inersia
Kunci untuk menghitung momen inersia benda tegar adalah belajar menggunakan dan menerapkan persamaan yang sesuai.
Perhatikan pensil dari bagian sebelumnya, dipintal dari ujung ke ujung di sekitar titik pusat sepanjang panjangnya. Meskipun itu bukansempurnabatang (ujung runcing istirahat bentuk ini, misalnya) dapat dimodelkan seperti itu untuk menyelamatkan Anda harus melalui momen penuh penurunan inersia untuk objek.
Jadi memodelkan objek sebagai batang, Anda akan menggunakan persamaan berikut untuk menemukan momen inersia, dikombinasikan dengan massa total dan panjang pensil:
I = \frac{1}{12} ML^2
Tantangan yang lebih besar adalah menemukan momen inersia untuk objek komposit.
Misalnya, pertimbangkan dua bola yang dihubungkan bersama oleh sebuah batang (yang akan kita perlakukan sebagai tak bermassa untuk menyederhanakan masalah). Bola satu berjarak 2 kg dan terletak 2 m dari sumbu rotasi, dan bola kedua bermassa 5 kg dan 3 m dari sumbu rotasi.
Dalam hal ini, Anda dapat menemukan momen inersia untuk objek komposit ini dengan menganggap setiap bola sebagai massa titik dan bekerja dari definisi dasar bahwa:
\begin{aligned} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2 + m_3r_3^2….\\ &= \sum_{\mathclap{i}}m_ir_i^2 \end{aligned}
Dengan subskrip hanya membedakan antara objek yang berbeda (yaitu, bola 1 dan bola 2). Objek dua bola kemudian akan memiliki:
\begin{aligned} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2\\ &= 2 \;\text{kg} × (2 \;\text{m})^2 + 5 \;\text{kg} × (3 \;\text{m})^2 \\ &= 8 \;\text{kg m}^2 + 45 \;\text{kg m}^2 \\ &= 53 \;\text{kg m}^2 \end{selaras}
Momen Inersia dan Kekekalan Momentum Sudut
Momentum sudut (analog rotasi untuk momentum linier) didefinisikan sebagai produk dari inersia rotasi (yaitu, momen inersia,saya) benda dan kecepatan sudutnyaω), yang diukur dalam derajat/s atau rad/s.
Anda pasti akrab dengan hukum kekekalan momentum linier, dan momentum sudut juga kekal dengan cara yang sama. Persamaan momentum sudutL) aku s:
L = saya
Memikirkan apa artinya ini dalam praktik menjelaskan banyak fenomena fisik, karena (tanpa adanya gaya lain), semakin tinggi inersia rotasi objek, semakin rendah kecepatan sudutnya.
Pertimbangkan seorang skater es yang berputar dengan kecepatan sudut konstan dengan lengan terentang, dan perhatikan bahwa lengannya yang terentang meningkatkan jari-jariRtentang mana massanya didistribusikan, yang mengarah ke momen inersia yang lebih besar daripada jika lengannya dekat dengan tubuhnya.
JikaL1 dihitung dengan tangan terentang, danL2, setelah menarik lengannya harus memiliki nilai yang sama (karena momentum sudut adalah kekal), apa yang terjadi jika ia mengurangi momen inersianya dengan menarik lengannya? kecepatan sudutnyaωmeningkat untuk mengkompensasi.
Kucing melakukan gerakan serupa untuk membantu mereka mendarat di kaki mereka saat jatuh.
Dengan merentangkan kaki dan ekor mereka, mereka meningkatkan momen inersia dan mengurangi kecepatan rotasi mereka, dan sebaliknya mereka dapat menarik kaki mereka untuk mengurangi momen inersia mereka dan meningkatkan kecepatan rotasi mereka. Mereka menggunakan dua strategi ini – bersama dengan aspek lain dari “refleks meluruskan” mereka – untuk memastikan kaki mereka mendarat pertama, dan Anda dapat melihat fase berbeda dari meringkuk dan meregangkan diri dalam foto-foto selang waktu seekor kucing pendaratan.
Momen Inersia dan Energi Kinetik Rotasi
Melanjutkan paralel antara gerak linier dan gerak rotasi, benda juga memiliki energi kinetik rotasi dengan cara yang sama mereka memiliki energi kinetik linier.
Pikirkan tentang sebuah bola yang menggelinding di tanah, keduanya berputar pada sumbu pusatnya dan bergerak maju secara linier: Energi kinetik total bola adalah jumlah energi kinetik liniernyaEk dan energi kinetik rotasinyaEmembusuk. Kesejajaran antara dua energi ini tercermin dalam persamaan untuk keduanya, mengingat bahwa suatu benda momen inersia adalah analog rotasi massa dan kecepatan sudutnya adalah analog rotasi linier kecepatanv):
E_k = \frac{1}{2}mv^2
E_{busuk} = \frac{1}{2}Sayaω^2
Anda dapat dengan jelas melihat bahwa kedua persamaan memiliki bentuk yang persis sama, dengan analog rotasi yang sesuai menggantikan persamaan energi kinetik rotasi.
Tentu saja, untuk menghitung energi kinetik rotasi, Anda harus mengganti ekspresi yang sesuai untuk momen inersia objek ke dalam ruang untuksaya. Mengingat bola, dan memodelkan objek sebagai bola padat, persamaan kasus ini adalah:
\begin{aligned} E_{rot} &= \bigg(\frac{2}{5} MR^2\bigg) \frac{1}{2} ^2 \\ &= \frac{1}{5 }MR^2 ^2 \end{selaras}
energi kinetik total (Etot) adalah jumlah dari ini dan energi kinetik bola, sehingga Anda dapat menulis:
\begin{aligned} E_{tot} &= E_k + E_{rot} \\ &= \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}MR^2 ^2 \end{ sejajar}
Untuk bola 1 kg yang bergerak dengan kecepatan linier 2 m/s, dengan jari-jari 0,3 m dan dengan kecepatan sudut 2π rad/s, energi totalnya adalah:
\begin{aligned} E_{tot} &= \frac{1}{2} 1 \;\text{kg} × (2 \;\text{m/s})^2 + \frac{1}{5 }(1 \;\text{kg} × (0,3 \;\text{m})^2 × (2π \;\text{rad/s})^2) \\ &= 2 \;\text{J} + 0,71 \;\text{J} \\ & = 2.71 \;\teks{J} \end{selaras}
Bergantung pada situasinya, sebuah benda mungkin hanya memiliki energi kinetik linier (misalnya, bola dijatuhkan dari ketinggian tanpa putaran yang diberikan padanya) atau hanya energi kinetik rotasi (bola berputar tetapi tetap di tempatnya).
Ingatlah bahwa itu adalahtotalenergi yang dilestarikan. Jika sebuah bola ditendang di dinding tanpa rotasi awal, dan memantul kembali dengan kecepatan lebih rendah tetapi dengan putaran yang diberikan, serta energi hilang menjadi suara dan panas ketika melakukan kontak, sebagian dari energi kinetik awal telah dipindahkan ke energi kinetik rotasi, dan karenanyatidak bisamungkin bergerak secepat sebelum memantul kembali.